Để chứng minh \( \frac{AB}{2} = \frac{AC}{3} = \frac{BC}{4} \) cho tam giác \( ABC \) có chu vi \( 18 \) cm, chúng ta sẽ sử dụng các tỉ lệ do các đường phân giác tạo ra.

### Giả sử:
- \( AB = a \)
- \( AC = b \)
- \( BC = c \)

Theo giả thiết, ta có:

\[
AB + AC + BC = a + b + c = 18 \quad (1)
\]

### Xét đường phân giác \( BD \):
Vì \( AD \) và \( DC \) là hai đoạn phân chia của đường phân giác \( BD \):
- Giả sử \( AD = x \) và \( DC = y \).
- Theo giả thiết, ta có \( \frac{AD}{DC} = \frac{1}{2} \), nghĩa là \( \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \) hay \( x = \frac{y}{2} \).

Vậy,
\[
AD + DC = x + y = \frac{y}{2} + y = \frac{3y}{2} \quad (2)
\]

### Xét đường phân giác \( CE \):
Tương tự, vì \( AE \) và \( EB \) là hai đoạn phân chia của đường phân giác \( CE \):
- Giả sử \( AE = m \) và \( EB = n \).
- Theo giả thiết, ta có \( \frac{AE}{EB} = \frac{3}{4} \), nghĩa là \( \frac{m}{n} = \frac{3}{4} \) hay \( m = \frac{3n}{4} \).

Vậy,
\[
AE + EB = m + n = \frac{3n}{4} + n = \frac{7n}{4} \quad (3)
\]

### Tính các đoạn:
Từ (2) và (3), ta tính các đoạn:

- Từ (2): \( a = AD + DC = \frac{3y}{2} \) nên \( DC = y = \frac{2a}{3} \).
- Từ (3): \( b = AE + BE = \frac{7n}{4} \) nên \( EB = n = \frac{4b}{7} \).

Giờ, ta tính tổng chu vi:
\[
AB + AC + BC = a + b + c = 18
\]

### Áp dụng Mối liên quan từ tỷ lệ
Ta sẽ sử dụng các tỷ lệ từ các đường phân giác và lập nên các phương trình cho:

\[
AB = kx, AC = ky, BC = kz
\]

với \( k \) là một hằng số (để đơn giản hóa tính toán). Giả sử:

- \( a = 2k \)
- \( b = 3k \)
- \( c = 4k \)

Vậy giờ ta đã có:
\[
2k + 3k + 4k = 18
\]
\[
9k = 18 \Rightarrow k = 2
\]

### Thay vào các đoạn
Thay \( k \) vào các đoạn, ta có:
- \( AB = 2k = 4 \) cm
- \( AC = 3k = 6 \) cm
- \( BC = 4k = 8 \) cm

### Kết luận
\[
\frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2, \quad \frac{AC}{3} = \frac{6}{3} = 2, \quad \frac{BC}{4} = \frac{8}{4} = 2.
\]
Nên ta có:

\[
\frac{AB}{2} = \frac{AC}{3} = \frac{BC}{4} = 2
\]

Xác nhận điều cần chứng minh: \( \frac{AB}{2} = \frac{AC}{3} = \frac{BC}{4} \). Điều này hoàn thành bài toán.