Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 20cm, BC = 16 cm. Đường phân giác trong và ngoài của góc A cắt BC tại D, E. Tính EB, EC

Để tính EB và EC, ta sử dụng định lý về phân giác trong và phân giác ngoài của một tam giác.

### 1. Tính độ dài của BD và DC (đường phân giác trong)

**Định lý phân giác trong**: Nếu AD là đường phân giác trong của góc A, thì:

\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

Với:
- \(AB = 12\) cm
- \(AC = 20\) cm
- \(BC = 16\) cm

Gọi \(BD = x\) và \(DC = y\). Ta có:

\[
\frac{x}{y} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}
\]

Do đó, ta có:

\[
x = \frac{3}{5}y
\]

Và vì \(BD + DC = BC\), nên:

\[
x + y = 16
\]

Thay \(x\) vào phương trình trên:

\[
\frac{3}{5}y + y = 16
\]
\[
\frac{3y + 5y}{5} = 16
\]
\[
\frac{8y}{5} = 16
\]
\[
8y = 80
\]
\[
y = 10
\]

Vậy \(DC = 10\) cm, và:

\[
x = BD = 16 - 10 = 6 \text{ cm}
\]

=> Kết quả cho \(BD\) và \(DC\) là:
- \(BD = 6\) cm
- \(DC = 10\) cm

### 2. Tính độ dài của BE và CE (đường phân giác ngoài)

**Định lý phân giác ngoài**: Nếu AE là đường phân giác ngoài của góc A, thì:

\[
\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}
\]

Với cùng tỉ lệ:

\[
\frac{BE}{EC} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}
\]

Gọi \(BE = a\) và \(EC = b\). Ta có:

\[
\frac{a}{b} = \frac{3}{5}
\]

Khi đó:

\[
a = \frac{3}{5}b
\]

Cũng tương tự, do \(BE + EC = BC + CE\):

\[
a + b = 16 + EC
\]

Trả về phương trình chính:

\[
\frac{3}{5}b + b = 16 + b
\]

Chúng ta đã biết rằng EC là một lượng không xác định ở đây nhưng trong trường hợp này sẽ được tính như sau:

Gọi \(x = EC\), như vậy \(BE + EC + EC = 36 + x\):

Dễ dàng suy ra tính tỷ lệ từ trước đó.

Vì \(BE = \frac{3}{8}x + x = x + b\)

Và cuối cùng kết luận cho E theo thống nhất:

Đoạn EC đúng là bình thường tỉ lệ cho điều phối giữa với BC vì điều này điều phối ngoài nằm cho phía biên của bên cạnh C.

### Kết luận

Ta có:
- \(EB = 6\) cm
- \(EC = 10\) cm (trong)
- Đối với bên ngoài, do tỉ lệ BC ta sẽ điều mẫu cho các phần còn lại mà cho ra tỉ lệ vì chưa có sự trao đổi đúng cho sẽ cho ra 3:5 ở bên góc ngoài ra dành cho BD với tỉ cấp C trong và tấm bằng số.

Chúc bạn một ngày tốt lành!