Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( F(x, y) = 4x - 3y \) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình sau:

\[
\begin{cases}
x + y \geq -4 \\
x + y \leq 5 \\
-x + y \leq 5 \\
-x + y \geq -4
\end{cases}
\]

Chúng ta sẽ tiến hành các bước sau:

### Bước 1: Xác định các đường biên của miền

1. \( x + y = -4 \)
2. \( x + y = 5 \)
3. \( -x + y = 5 \) hay \( y = x + 5 \)
4. \( -x + y = -4 \) hay \( y = x - 4 \)

### Bước 2: Vẽ các đường biên

Vẽ các đường thẳng trong hệ tọa độ và xác định miền nghiệm.

### Bước 3: Tìm các điểm giao nhau

Tính các giao điểm của các đường:

1. Giao điểm của \( x + y = -4 \) và \( x + y = 5 \): Không có giao điểm.
2. Giao điểm của \( x + y = -4 \) và \( -x + y = 5 \):
\[
\begin{cases}
x + y = -4 \\
-x + y = 5
\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}
2y = 1 \Rightarrow y = 1 \\
x + 1 = -4 \Rightarrow x = -5 \\
\end{cases} \text{ Giao điểm: } (-5, 1)
\]
3. Giao điểm của \( x + y = -4 \) và \( -x + y = -4 \):
\[
\begin{cases}
x + y = -4 \\
-x + y = -4
\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}
2y = -8 \Rightarrow y = -4 \\
x - 4 = -4 \Rightarrow x = 0
\end{cases} \text{ Giao điểm: } (0, -4)
\]
4. Giao điểm của \( x + y = 5 \) và \( -x + y = 5 \):
\[
\begin{cases}
x + y = 5 \\
-x + y = 5
\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}
2y = 10 \Rightarrow y = 5 \\
x + 5 = 5 \Rightarrow x = 0
\end{cases} \text{ Giao điểm: } (0, 5)
\]
5. Giao điểm của \( x + y = 5 \) và \( -x + y = -4 \):
\[
\begin{cases}
x + y = 5 \\
-x + y = -4
\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}
2y = 1 \Rightarrow y = 1 \\
x + 1 = 5 \Rightarrow x = 4
\end{cases} \text{ Giao điểm: } (4, 1)
\]

### Bước 4: Tính giá trị hàm tại các điểm giao nhau

1. \( F(-5, 1) = 4(-5) - 3(1) = -20 - 3 = -23 \)
2. \( F(0, -4) = 4(0) - 3(-4) = 0 + 12 = 12 \)
3. \( F(0, 5) = 4(0) - 3(5) = 0 - 15 = -15 \)
4. \( F(4, 1) = 4(4) - 3(1) = 16 - 3 = 13 \)

### Bước 5: Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

- Giá trị nhỏ nhất: \(-23\) tại điểm \((-5, 1)\)
- Giá trị lớn nhất: \(13\) tại điểm \((4, 1)\)

### Kết luận

- Giá trị lớn nhất của \( F(x, y) \) là \( 13 \).
- Giá trị nhỏ nhất của \( F(x, y) \) là \(-23\).