Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức \( P(x) = \frac{-2}{x-2} (x^3 - x^2 - 2x) \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức \( P(x) = \frac{-2}{x-2} (x^3 - x^2 - 2x) \), trước tiên, ta cần khảo sát hàm số này.

1. **Rút gọn biểu thức \( P(x) \)**:
\[
P(x) = \frac{-2}{x-2} \cdot x(x^2 - x - 2) = \frac{-2}{x-2} \cdot x(x-2)(x+1)
\]
Khi \( x \neq 2 \), ta có:
\[
P(x) = -2x(x + 1)
\]

2. **Tính \( P(x) \)**:
Khi \( x \neq 2 \), ta có:
\[
P(x) = -2x^2 - 2x
\]

3. **Khảo sát hàm số**:
Ta cần tìm cực trị của hàm số \( P(x) = -2x^2 - 2x \) bằng cách tính đạo hàm:
\[
P'(x) = -4x - 2
\]
Đặt \( P'(x) = 0 \):
\[
-4x - 2 = 0 \implies 4x = -2 \implies x = -\frac{1}{2}
\]

4. **Xác định giá trị tại điểm \( x = -\frac{1}{2} \)**:
Tính giá trị của \( P \) tại điểm này:
\[
P\left(-\frac{1}{2}\right) = -2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) = -2\left(\frac{1}{4}\right) + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}
\]

5. **Kiểm tra giới hạn**:
- Khi \( x \to 2 \), \( P(x) \) không xác định (giới hạn tiệm cận đứng).
- Khi \( x \to \pm \infty \), \( P(x) \to -\infty \).

6. **Kết luận**:
Giá trị nhỏ nhất của \( P(x) \) là \(-\infty\) khi \( x \) tiến tới \(\pm \infty\). Tuy nhiên, giá trị lớn nhất trên khoảng \( (-\infty, 2) \) là \(\frac{1}{2}\) tại \( x = -\frac{1}{2} \).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( P(x) \) là:

\[
\boxed{-\infty}
\]