Để chứng minh rằng \( AH = AK \) trong tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( AH \) vuông góc với \( BC \) và \( EK \) vuông góc với \( AC \), ta làm như sau:

1. **Đặt các điểm:** Gọi \( H \) là chân đường vuông góc từ \( A \) đến \( BC \), \( E \) là điểm trên \( BC \) sao cho \( BE = BA \).

2. **Xem xét tam giác:** Xét tam giác vuông \( ABE \) tại \( A \):
- Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
AE^2 = AB^2 + BE^2 = AB^2 + AB^2 = 2AB^2.
\]
- Do đó, \( AE = AB\sqrt{2} \).

3. **Tính độ dài AH và AK:**
- \( AH \) là chiều cao, do đó:
\[
AH^2 + BH^2 = AB^2.
\]
- Trong tam giác vuông \( AEK \), \( EK \) vuông góc với \( AC \), ta cũng có:
\[
AK^2 + EK^2 = AE^2.
\]
- Nhưng do \( EK \) vuông góc với \( AC \), từ tam giác vuông \( AKH \) ta cũng có:
\[
AK^2 + KH^2 = AH^2.
\]

4. **Kết hợp các biểu thức:** Bởi vì \( EK \) vuông góc với \( AC \) thỏa mãn rằng \( EK \) cũng là chiều cao hạ từ \( E \) xuống \( AC \).

Vì \( E \) là điểm trên \( BC \) sao cho \( BE = BA \), ta có:
\[
AH^2 + BH^2 = AB^2 \quad \text{và} \quad AK^2 + KH^2 = AH^2.
\]
Từ hệ nghiệm trên, ta hiểu rằng trong hình vuông, chiều cao của đường từ \( A \) đến \( BC \) (đường vuông góc) và chiều cao của đường từ \( E \) đến \( AC \) (cũng vuông góc) phải bằng nhau.

Cuối cùng, ta suy ra:
\[
AH = AK.
\]

Vậy nên ta đã chứng minh được rằng \( AH = AK \).