Để giải bài toán này, chúng ta cần làm theo hai yêu cầu:

1. **Chứng minh \( m \parallel n \)**:

Vì \( m \perp r \) và \( n \perp r \), nghĩa là cả hai đường thẳng \( m \) và \( n \) đều vuông góc với cùng một đường thẳng \( r \). Điều này dẫn đến việc \( m \) và \( n \) song song với nhau. Theo định lý, nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba, thì chúng song song với nhau.

Vậy, chúng ta có:
\[
m \parallel n
\]

2. **Tính số đo các góc \( I_1, I_2 \)**:

Từ hình vẽ, góc \( H_3 = 50^\circ \). Bởi vì \( m \parallel n \) và \( r \) là đường thẳng cắt hai đường thẳng này, chúng ta có mối quan hệ giữa các góc:

- \( I_1 \) là góc ngoài, đối diện với góc \( H_3 \):
\[
I_1 = H_3 = 50^\circ
\]

- \( I_2 \) là góc trong cùng phía với góc 50° (tức là góc đồng vị, theo tính chất của hai đường thẳng song song cắt bởi một đường thẳng):
\[
I_2 = 180^\circ - H_3 = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ
\]

Vậy kết quả là:
- \( I_1 = 50^\circ \)
- \( I_2 = 130^\circ \)