Để tìm độ dài cạnh \( MN \) của mặt đáy và chiều cao \( AM \) của hộp sao cho tổng diện tích các mặt được mạ kim loại quý nhỏ nhất, ta sẽ theo dõi các bước sau:

1. **Đặt biến**:
- Gọi \( a \) là độ dài cạnh của mặt đáy \( (ABCD) \) (cũng là chiều dài \( MN \)).
- Gọi \( h \) là chiều cao \( AM \).

2. **Thể tích của hộp**:
- Thể tích \( V = a^2 \cdot h \).
- Theo bài toán, \( V = 4 \, dm^3 \).
- Ta có phương trình:
\[
a^2 \cdot h = 4 \implies h = \frac{4}{a^2}.
\]

3. **Diện tích các mặt mạ**:
- Diện tích mặt đáy \( MNPQ\) là \( a^2 \).
- Diện tích bốn mặt xung quanh là:
\[
4 \cdot (a \cdot h) = 4ah.
\]
- Tổng diện tích được mạ kim loại quý là:
\[
S = 4ah + a^2.
\]

4. **Thay thế \( h \)**:
- Thay \( h \) vào tổng diện tích:
\[
S = 4a \cdot \frac{4}{a^2} + a^2 = \frac{16}{a} + a^2.
\]

5. **Tìm cực tiểu của \( S \)**:
- Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta tính đạo hàm của \( S \):
\[
S' = -\frac{16}{a^2} + 2a.
\]
- Giải phương trình \( S' = 0 \):
\[
-\frac{16}{a^2} + 2a = 0 \implies 2a^3 = 16 \implies a^3 = 8 \implies a = 2.
\]

6. **Tính \( h \)**:
- Thay \( a = 2 \) vào công thức tìm \( h \):
\[
h = \frac{4}{a^2} = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1.
\]

Vậy, độ dài cạnh \( MN \) của mặt đáy là \( 2 \, dm \) và chiều cao \( AM \) của hộp là \( 1 \, dm \).