Cho hình thoi ABCD. Trên cạnh BC, D lấy E, F sao cho CE = CF. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của AE và AF với BD

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu.

### a) Chứng minh tam giác AEF là tam giác cân

1. **Ký hiệu độ dài:** Gọi chiều dài các cạnh của hình thoi là \(a\). Ta có:
- \(AB = BC = CD = DA = a\)
- Trong tam giác AEF, CE = CF = x (được cho trong bài toán).

2. **Chứng minh AE = AF:**
- Vì E và F được chọn sao cho CE = CF, do đó khoảng cách từ A đến hai điểm E và F là bằng nhau khi cả hai đoạn AE và AF đều tạo thành độ dài không đổi từ A đến các điểm ở trên cạnh BC.
- Từ đó, có thể kết luận rằng AE = AF.

3. **Kết luận:**
- Tam giác AEF có 2 cạnh AE và AF bằng nhau, do đó tam giác AEF là tam giác cân.

### b) Chứng minh hình AMCN là hình thoi

1. **Gọi các điểm:** Ta có các điểm M và N là giao điểm của AE và AF với BD.

2. **M và N là trọng tâm:** Do AE và AF cùng đối xứng qua đường BD (do hình thoi có tính đối xứng), nên M và N sẽ chia đoạn BD thành hai phần bằng nhau.

3. **Chứng minh các cạnh:**
- Ta cần chứng minh:
- AM = CN
- AN = CM
- Nhờ tính đối xứng và tam giác AEF đã chứng minh như trên, hai đoạn AM và CN sẽ có độ dài bằng nhau, tương tự với AN và CM.

4. **Kết luận:**
- Với các cạnh AM = CN và AN = CM, và tính chất các góc của hình thoi, tam giác AMCN sẽ là hình thoi.

### Tóm tắt

- **a)** Tam giác AEF là tam giác cân.
- **b)** Hình AMCN là hình thoi.