Thực hiện phép tính

Để thực hiện phép tính trong bài 3 và bài 4, chúng ta sẽ xử lý từng phần một:

### Bài 3:
Tính giá trị của biểu thức:
\[
\frac{1}{2011} + \frac{1}{2010} + \frac{1}{2009} + \frac{1}{2008} + \frac{1}{2} + \frac{1}{1}
\]

Ta có:
- \(\frac{1}{2011} \approx 0.000497\)
- \(\frac{1}{2010} \approx 0.000497\)
- \(\frac{1}{2009} \approx 0.000497\)
- \(\frac{1}{2008} \approx 0.000498\)
- \(\frac{1}{2} = 0.5\)
- \(\frac{1}{1} = 1\)

Cộng các giá trị lại:
\[
0.000497 + 0.000497 + 0.000497 + 0.000498 + 0.5 + 1 \approx 1.501
\]

### Bài 4:
Tính giá trị của biểu thức:
\[
5 \times 10 + 10 \times 11 + 11 \times 12 + \ldots + 99 \times 100
\]

Biểu thức này có thể được biểu diễn như:
\[
\sum_{n=10}^{99} n(n + 1)
\]

Để giải quyết, ta có thể tách nó thành hai phần:
\[
\sum_{n=10}^{99} n^2 + \sum_{n=10}^{99} n
\]

1. Tính \(\sum_{n=10}^{99} n\):
- Tổng của các số từ 1 đến 99 là \(\frac{99 \times 100}{2} = 4950\)
- Tổng của các số từ 1 đến 9 là \(\frac{9 \times 10}{2} = 45\)
- Vậy:
\[
\sum_{n=10}^{99} n = 4950 - 45 = 4905
\]

2. Tính \(\sum_{n=10}^{99} n^2\):
- Tổng của \(n^2\) từ 1 đến \(m\) là \(\frac{m(m+1)(2m + 1)}{6}\).
- Tổng từ 1 đến 99:
\[
\sum_{n=1}^{99} n^2 = \frac{99 \times 100 \times 199}{6} = 328350
\]
- Tổng từ 1 đến 9:
\[
\sum_{n=1}^{9} n^2 = \frac{9 \times 10 \times 19}{6} = 285
\]
- Vậy:
\[
\sum_{n=10}^{99} n^2 = 328350 - 285 = 328065
\]

Cuối cùng, ta cộng hai kết quả lại:
\[
\sum_{n=10}^{99} n^2 + \sum_{n=10}^{99} n = 328065 + 4905 = 333970
\]

### Kết quả:
- Bài 3: Khoảng 1.501
- Bài 4: 333970