Chứng minh rằng A = 1/(a - b)^2 +1/(b - c)^2 + 1/(c - a)^2

Để chứng minh rằng \( A = \frac{1}{(a - b)^2} + \frac{1}{(b - c)^2} + \frac{1}{(c - a)^2} \) với \( a, b, c \) là các số hữu tỷ đôi một khác nhau, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp mô tả lại và làm rõ các điều kiện của bài toán.

1. **Ký hiệu và Giả thiết:**
- Chúng ta giả sử \( a, b, c \) là các số hữu tỷ khác nhau, có nghĩa là \( a \neq b \), \( b \neq c \), và \( c \neq a \).

2. **Biểu thức A:**
- Cụ thể, chúng ta có
\[
A = \frac{1}{(a - b)^2} + \frac{1}{(b - c)^2} + \frac{1}{(c - a)^2}.
\]

3. **Phân tích và Tính chất:**
- Để chứng minh rằng \( A \) có giá trị không âm mà không đối kháng với các giả thiết, chúng ta có thể xét các phần tử trong biểu thức. Cụ thể, mỗi phần tử của \( A \) là một phân số với tử số là 1, do đó chúng ta cần kiểm tra từng mẫu số là khác 0, vì \( a, b, c \) đều khác nhau:
- \( (a - b) \neq 0 \)
- \( (b - c) \neq 0 \)
- \( (c - a) \neq 0 \)

4. **Tính chất của biểu thức:**
- Giá trị của \( A \) luôn dương vì tất cả các mẫu số là bình phương của các số khác không. Do đó, tổng các thành phần này sẽ cho một giá trị dương.

5. **Kết luận:**
- Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng biểu thức \( A = \frac{1}{(a - b)^2} + \frac{1}{(b - c)^2} + \frac{1}{(c - a)^2} \) là có giá trị dương và xác định rõ với \( a, b, c \) là các số hữu tỷ đôi một khác nhau. Nếu cần một yếu tố cụ thể hoặc điều kiện khác, phần này cần có thêm giả thuyết cụ thể về các giá trị của \( a, b, c \).

Như vậy, chúng ta đã xác minh và chứng minh rằng \( A \) là một biểu thức có giá trị xác định với các thông số đã cho.