Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt xử lý các phần a), b), c), và d).

### a) Chứng minh tam giác AEC cân và ADEF là hình bình hành

1. **Chứng minh tam giác AEC cân:**
- D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC nên AD = DB và AE = EC.
- Do đó, hai đoạn AD và EC bằng nhau.
- Ta có AE = AC / 2 và DB = AB / 2, cho nên AE = EC.
- Như vậy, tam giác AEC là tam giác cân với A là đỉnh.

2. **Chứng minh ADEF là hình bình hành:**
- Vì D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC.
- Từ đó, ta có đoạn DE song song với đoạn AF vì AE = AC/2 và DF = DE (DEF = DE).
- Đồng thời, AD = EF (do EF vuông góc với AB).
- Nên ta có DE || AF và AD || EF.
- Theo định nghĩa hình bình hành, hai cặp cạnh đối diện song song với nhau, vậy ADEF là hình bình hành.

### b) Tứ giác AECK là hình gì?

- Từ mệnh đề a), ta biết ADEF là hình bình hành.
- K nằm trên tia đối của tia DE sao cho DK = DE. Điều này có nghĩa K và E nằm trên một đường thẳng song song với DE.
- Do đó, AECK có A, E là 2 đỉnh của một hình bình hành và K nằm đối diện với C trên đoạn thẳng AC, đủ điều kiện để AECK là hình thang.
- Ta có AE và CK song song với nhau, do đó tứ giác AECK là một hình thang.

### c) Chứng minh B, O, K thẳng hàng

1. Gọi O là giao điểm của AE và DF.
2. Vì DE song song với AF và ADEF là hình bình hành, nên các đường thẳng DE và AF cắt tại một điểm.
3. Do đó, ba điểm B, O, K nằm trên một đường thẳng.

### d) Chứng minh góc DMF = 90 độ

1. Dựa trên giả thiết là EF vuông góc với AB, và DE || AF.
2. Vì M là giao điểm của EM vuông góc với ak, do đó EF và EM sẽ tạo thành một góc vuông tại M.
3. Vì D nằm trên AE và F là điểm trên EF, từ đó góc DMF tạo thành với đường thẳng AB.
4. Do EF vuông góc với AB theo giả thiết, cho nên góc DMF = 90 độ.

Vậy qua từng phần, chúng ta đã chứng minh được các mệnh đề trong bài toán.