Để giải bài toán, ta sử dụng tính chất của các góc đối đỉnh và góc đồng vị.

Cho \( a \parallel b \) và \( A_1 - A_2 = 42^\circ \).

1. **Tính góc \( A_1 \) và \( A_2 \)**:
- Giả sử \( A_1 = x \) và \( A_2 = x - 42^\circ \).
- Theo tính chất của góc so le trong:
\[
A_1 + A_2 = 180^\circ
\]
Thay \( A_2 \) vào:
\[
x + (x - 42^\circ) = 180^\circ
\]
\[
2x - 42^\circ = 180^\circ
\]
\[
2x = 222^\circ
\]
\[
x = 111^\circ
\]
- Vậy \( A_1 = 111^\circ \) và \( A_2 = 111^\circ - 42^\circ = 69^\circ \).

2. **Tính góc \( B_3 \) và \( B_4 \)**:
- Từ tính chất của góc đồng vị, ta có:
- \( B_3 = A_2 = 69^\circ \)
- \( B_4 = A_1 = 111^\circ \)

Vậy:
- \( B_3 = 69^\circ \)
- \( B_4 = 111^\circ \)