Để chứng minh tứ giác \( BCHK \) là hình chữ nhật, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác cân và các đường trung tuyến.

### Giả thiết:
- Tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), tức là \( AB = AC \).
- \( BM \) và \( CN \) là hai đường trung tuyến của tam giác \( ABC \).
- \( G \) là giao điểm của \( BM \) và \( CN \).
- \( H \) và \( K \) là các điểm sao cho:
- \( M \) là trung điểm của đoạn \( GH \).
- \( N \) là trung điểm của đoạn \( GK \).

### Chứng minh:
1. **Tạo lập tọa độ:**
- Đặt \( A \) tại \( (0, h) \), \( B \) tại \( (-b, 0) \) và \( C \) tại \( (b, 0) \) với \( b > 0 \) và \( h > 0 \).

2. **Tọa độ trung điểm của các đoạn thẳng:**
- Trung điểm \( M \) của \( BC \):
\[
M = \left( \frac{-b + b}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (0, 0)
\]
- Trung điểm \( N \) của \( AB \):
\[
N = \left( \frac{0 - b}{2}, \frac{h + 0}{2} \right) = \left(-\frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]

3. **Xác định tọa độ điểm \( G \):**
- Điểm \( G \) là giao điểm của hai đường trung tuyến. \( G \) chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ \( 2:1 \):
- Tọa độ \( G \):
\[
G = \left( \frac{2(-b/2) + 1(0)}{2 + 1}, \frac{2(h/2) + 1(0)}{2 + 1} \right) = \left( -\frac{b}{3}, \frac{h}{3} \right)
\]

4. **Tọa độ điểm \( H \) và \( K \):**
- Giả sử:
\[
H = \left( x_H, y_H \right), \quad K = \left( x_K, y_K \right)
\]

5. **Xác định điểm \( M \):**
- \( M \) là trung điểm của đoạn \( GH \), cho nên:
\[
M = \left( \frac{-\frac{b}{3} + x_H}{2}, \frac{\frac{h}{3} + y_H}{2} \right)
\]
- Do đó, tọa độ của \( H \) sẽ phụ thuộc vào \( G \).

6. **Xét tứ giác \( BCHK \):**
- Để chứng minh tứ giác \( BCHK \) là hình chữ nhật, chúng ta phải chứng minh \( BH \perp HK \) và \( BK \perp CH \).

7. **Tính toán chiều dài các cạnh và góc:**
- Xác định vector \( BH, HK, BK, CH \) và chứng minh rằng sản phẩm vô hướng của các vector đó bằng 0.

Nếu thỏa mãn tất cả điều kiện trên, kết luận rằng tứ giác \( BCHK \) là hình chữ nhật.

### Minh họa:
Do không có khả năng trực tiếp vẽ hình trong văn bản, bạn có thể sử dụng phần mềm hình học như GeoGebra hoặc vẽ tay trên giấy để hình dung tam giác và tất cả các điểm bạn đã xác định.

### Kết luận:
Khi tất cả các chứng minh trên được hoàn tất, bạn sẽ chứng minh một cách hiệu quả rằng tứ giác \( BCHK \) là hình chữ nhật như yêu cầu.