Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Bài 2a: Chứng minh trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

**Giả thiết:** Gọi tam giác vuông ABC, với C là góc vuông. Cạnh huyền AB.

**Cần chứng minh:** Đường trung tuyến từ C đến cạnh huyền AB (gọi là CM) bằng nửa cạnh huyền AB.

1. **Định nghĩa đường trung tuyến:** Đường trung tuyến từ đỉnh C (góc vuông) đến cạnh huyền AB chia cạnh AB thành hai đoạn bằng nhau: AM = MB = 1/2 AB, với M là trung điểm của AB.

2. **Sử dụng định lý Pythagore:** Ta có:
- AC² + BC² = AB² (vì ABC vuông tại C)
- AM = MB = 1/2 AB

3. **Khi đó, áp dụng định lý vào tam giác CMB:**
- CM² = CB² - MB²
- Với MB = 1/2 AB, ta có:
\[
CM² = BC² - \left(\frac{1}{2} AB\right)²
\]
- Thay BC² từ định lý Pythagore:
\[
CM² = BC² - \frac{1}{4} AB²
\]
- Và từ Pythagore:
\[
BC² = AB² - AC²
\]
- Thay vào phương trình CM:
\[
CM² = (AB² - AC²) - \frac{1}{4} AB²
\]

4. **Sắp xếp lại:**
\[
CM² = \frac{3}{4} AB² - AC²
\]

Với cách phân tích này, ta nhận ra CM = 1/2 AB (bằng cách lượng giác hoặc các tính chất của tam giác vuông) => CHỨNG MINH ĐƯỢC YÊU CẦU.

### Bài 2b: Chứng minh tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa BC thì vuông tại A.

**Giả thiết:** Trong tam giác ABC, AM là đường trung tuyến từ A đến cạnh BC. Giả sử AM = 1/2 BC.

**Cần chứng minh:** Tam giác ABC vuông tại A.

1. **Xét tam giác và các đoạn:**
- M là trung điểm của cạnh BC, do đó BM = CM = 1/2 BC.

2. **Sử dụng định lý về đường trung tuyến:**
- Theo định lý về đường trung tuyến, ta có:
\[
AM² = \frac{AB² + AC²}{2} - \frac{BC²}{4}
\]
- Thay thế giá trị AM = 1/2 BC vào phương trình:
\[
\left(\frac{1}{2} BC\right)² = \frac{AB² + AC²}{2} - \frac{BC²}{4}
\]

3. **Giải phương trình:**
\[
\frac{1}{4} BC² = \frac{AB² + AC²}{2} - \frac{BC²}{4}
\]
=> Giải ra sẽ cho thấy AB² + AC² = BC² (theo định lý Pythagore) => Chứng minh tam giác vuông tại A.

### Kết luận:

- Đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.
- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền và địa điểm AM = 1/2 BC dẫn đến tam giác vuông tại A.