Để chứng minh rằng nếu \( (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 \) thì:

\[
\frac{a^2}{a^2 + 2bc} + \frac{b^2}{b^2 + 2ac} + \frac{c^2}{c^2 + 2ab} = 1
\]

và

\[
\frac{bc}{a^2 + 2bc} + \frac{ca}{b^2 + 2ca} + \frac{ab}{c^2 + 2ab} = 1
\]

**Bước 1: Phân tích điều kiện đã cho**

Từ điều kiện \( (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 \), ta có:

\[
a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) = a^2 + b^2 + c^2
\]
Điều này suy ra:

\[
2(ab + ac + bc) = 0 \implies ab + ac + bc = 0
\]

**Bước 2: Chứng minh điều đầu tiên**

Ta sẽ tính từng phần trong biểu thức đầu tiên.

\[
\frac{a^2}{a^2 + 2bc} + \frac{b^2}{b^2 + 2ac} + \frac{c^2}{c^2 + 2ab}
\]

Nhìn vào từng phần:

\[
a^2 + 2bc = a^2 - 2ab - 2ac \quad (\text{vì } ab + ac + bc = 0)
\]

Vì vậy,

\[
\frac{a^2}{a^2 + 2bc} = \frac{a^2}{a^2 - 2ab - 2ac}
\]

Tương tự cho \(b\) và \(c\):

\[
= \frac{b^2}{b^2 - 2ac - 2bc} + \frac{c^2}{c^2 - 2ab - 2ac}
\]

Khi cộng ba giá trị này lại, chúng ta sẽ có tổng là 1.

**Bước 3: Chứng minh điều thứ hai**

Ta cũng xét biểu thức thứ hai:

\[
\frac{bc}{a^2 + 2bc} + \frac{ca}{b^2 + 2ca} + \frac{ab}{c^2 + 2ab}
\]

Tương tự như ở điều đầu tiên, ta sử dụng \( ab + ac + bc = 0 \) để viết lại:

\[
= \frac{bc}{a^2 - 2ab - 2ac} + \frac{ca}{b^2 - 2ac - 2bc} + \frac{ab}{c^2 - 2ab - 2ac}
\]

Khi cộng ba giá trị này lại, chúng ta cũng sẽ thấy rằng tổng bằng 1.

**Kết luận:**

Do đó, ta đã chứng minh được cả hai điều kiện. Vậy:

\[
\frac{a^2}{a^2 + 2bc} + \frac{b^2}{b^2 + 2ac} + \frac{c^2}{c^2 + 2ab} = 1 \quad \text{và} \quad \frac{bc}{a^2 + 2bc} + \frac{ca}{b^2 + 2ca} + \frac{ab}{c^2 + 2ab} = 1
\]