Tìm n tự nhiên để P = n^4 -n^3 -6n^2+7n -21 là số nguyên tố

Để tìm giá trị của \( n \) sao cho biểu thức \( P = n^4 - n^3 - 6n^2 + 7n - 21 \) là số nguyên tố, chúng ta sẽ thử các giá trị của \( n \) là số tự nhiên (0, 1, 2, ...).

1. **Thử \( n = 0 \)**:
\[
P(0) = 0^4 - 0^3 - 6 \cdot 0^2 + 7 \cdot 0 - 21 = -21 \quad (\text{Không phải là số nguyên tố})
\]

2. **Thử \( n = 1 \)**:
\[
P(1) = 1^4 - 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1 - 21 = 1 - 1 - 6 + 7 - 21 = -20 \quad (\text{Không phải là số nguyên tố})
\]

3. **Thử \( n = 2 \)**:
\[
P(2) = 2^4 - 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2 - 21 = 16 - 8 - 24 + 14 - 21 = -23 \quad (\text{Không phải là số nguyên tố})
\]

4. **Thử \( n = 3 \)**:
\[
P(3) = 3^4 - 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 7 \cdot 3 - 21 = 81 - 27 - 54 + 21 - 21 = 0 \quad (\text{Không phải là số nguyên tố})
\]

5. **Thử \( n = 4 \)**:
\[
P(4) = 4^4 - 4^3 - 6 \cdot 4^2 + 7 \cdot 4 - 21 = 256 - 64 - 96 + 28 - 21 = 103 \quad (\text{Là số nguyên tố})
\]

6. **Thử \( n = 5 \)**:
\[
P(5) = 5^4 - 5^3 - 6 \cdot 5^2 + 7 \cdot 5 - 21 = 625 - 125 - 150 + 35 - 21 = 364 \quad (\text{Không phải là số nguyên tố})
\]

7. **Thử \( n = 6 \)**:
\[
P(6) = 6^4 - 6^3 - 6 \cdot 6^2 + 7 \cdot 6 - 21 = 1296 - 216 - 216 + 42 - 21 = 885 \quad (\text{Không phải là số nguyên tố})
\]

8. **Thử \( n = 7 \)**:
\[
P(7) = 7^4 - 7^3 - 6 \cdot 7^2 + 7 \cdot 7 - 21 = 2401 - 343 - 294 + 49 - 21 = 1792 \quad (\text{Không phải là số nguyên tố})
\]

9. **Thử \( n = 8 \)**:
\[
P(8) = 8^4 - 8^3 - 6 \cdot 8^2 + 7 \cdot 8 - 21 = 4096 - 512 - 384 + 56 - 21 = 3135 \quad (\text{Không phải là số nguyên tố})
\]

Từ các phép tính trên, ta thấy rằng \( P(4) = 103 \) là giá trị duy nhất cho \( n \) là số tự nhiên mà \( P(n) \) là số nguyên tố.

**Vậy giá trị của n tự nhiên để \( P \) là số nguyên tố là \( n = 4 \).**