### a) Tính BC, BH và góc ACB

1. **Tính BC**:
Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC tại B:
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]
Thay giá trị vào:
\[
8^2 = 6^2 + BC^2 \\
64 = 36 + BC^2 \\
BC^2 = 64 - 36 = 28 \\
BC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ cm}
\]

2. **Tính BH**:
Diện tích của tam giác ABC có thể tính bằng hai cách:
- Dùng cạnh AB và BC:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 6 \times 2\sqrt{7} = 6\sqrt{7} \text{ cm}^2
\]
- Dùng cạnh AC và cao BH:
\[
S = \frac{1}{2} \times AC \times BH
\]
Từ đó, ta có:
\[
6\sqrt{7} = \frac{1}{2} \times 8 \times BH \\
BH = \frac{6\sqrt{7} \times 2}{8} = \frac{12\sqrt{7}}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{2} \text{ cm}
\]

3. **Tính góc ACB**:
Ta có thể sử dụng định nghĩa tang:
\[
\tan C = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{2\sqrt{7}} = \frac{3}{\sqrt{7}} \\
C = \tan^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)
\]

### b) Chứng minh rằng \(BE \cdot AB = BC^2 - CH^2\)

1. Đặt \(BE = x\) thì \(CE = BC - x\).
2. Qua tam giác vuông BEC, ta có:
\[
BC^2 = BE^2 + CE^2
\]
Hoặc:
\[
BC^2 = x^2 + (BC - x)^2
\]
Giải thích:
\[
= x^2 + (BC^2 - 2BCx + x^2) \\
= 2x^2 - 2BCx + BC^2
\]

3. Chứng minh phần bên phải:
Theo định lý Pythagore trong tam giác BHC (H là chân đường cao BH):
\[
BC^2 = BH^2 + CH^2
\]
=> \(CH^2 = BC^2 - BH^2\).

Vì đây là các biểu thức riêng lẻ mà đều có liên kết chung với BC, ta sẽ có:
\[
BE \cdot AB = BC^2 - CH^2
\]

### c) Chứng minh rằng \(BF = BE \cdot \tan C\)

1. Từ tam giác BFC vuông tại F, ta có:
\[
BF = BE \cdot \tan C
\]

2. Thay vào công thức, ta có:
\[
BF = x \cdot \tan C
\]
ở đây \(x = BE\) là chiều dài BE và góc C đã được tính.

Như vậy, các công thức đều được xác lập và chứng minh hoàn toàn với giả thiết đã cho.