Để giải phương trình

\[
\sqrt{x-2} + \sqrt{y+2009} + \sqrt{z-2010} = \frac{1}{2}(x + y + z),
\]

ta sẽ chuyển đổi nó thành một dạng dễ giải hơn. Đầu tiên, để các biểu thức trong căn không âm, ta có:

- \( x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \)
- \( y + 2009 \geq 0 \Rightarrow y \geq -2009 \)
- \( z - 2010 \geq 0 \Rightarrow z \geq 2010 \)

Giả sử \( x = 2 + a \), \( y = -2009 + b \), và \( z = 2010 + c \) với \( a, b, c \geq 0 \). Thay vào phương trình, ta có:

\[
\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \frac{1}{2}((2+a) + (-2009+b) + (2010+c)).
\]

Rút gọn phía bên phải:

\[
\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \frac{1}{2}(2 - 2009 + 2010 + a + b + c) = \frac{1}{2}(a + b + c + 3).
\]

Nhân cả hai vế với 2, ta được:

\[
2\sqrt{a} + 2\sqrt{b} + 2\sqrt{c} = a + b + c + 3.
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
a + b + c - 2\sqrt{a} - 2\sqrt{b} - 2\sqrt{c} + 3 = 0.
\]

Đặt \( u = \sqrt{a} \), \( v = \sqrt{b} \), và \( w = \sqrt{c} \). Khi đó phương trình trở thành:

\[
u^2 + v^2 + w^2 - 2u - 2v - 2w + 3 = 0.
\]

Ta có:

\[
u^2 - 2u + v^2 - 2v + w^2 - 2w + 3 = 0,
\]

Mọi biểu thức dạng \( k^2 - 2k \) đều có dạng hoàn chỉnh:

\[
(u-1)^2 + (v-1)^2 + (w-1)^2 = 0.
\]

Từ đó suy ra:

\[
u - 1 = 0 \Rightarrow u = 1,
\]
\[
v - 1 = 0 \Rightarrow v = 1,
\]
\[
w - 1 = 0 \Rightarrow w = 1.
\]

Do đó, ta có:

\[
\sqrt{a} = 1 \Rightarrow a = 1,
\]
\[
\sqrt{b} = 1 \Rightarrow b = 1,
\]
\[
\sqrt{c} = 1 \Rightarrow c = 1.
\]

Quay trở lại giá trị nguyên gốc của \( x, y, z \):

\[
x = 2 + a = 2 + 1 = 3,
\]
\[
y = -2009 + b = -2009 + 1 = -2008,
\]
\[
z = 2010 + c = 2010 + 1 = 2011.
\]

Vậy, nghiệm của phương trình là:

\[
(x, y, z) = (3, -2008, 2011).
\]