**VD 1: Chứng minh OAMB là hình thoi**

Để chứng minh OAMB là hình thoi, ta cần chứng minh rằng OA = OB và góc OAM = góc OBA.

1. **Góc xOy và tia phân giác Ot**: Giả sử góc xOy có độ mở là α, thì tia phân giác Ot sẽ chia góc này thành hai góc bằng nhau, tức là mỗi góc bằng α/2.

2. **Điểm M thuộc Oz**: Từ điểm M, kẻ đoạn thẳng MA // Oy, điều này có nghĩa là OA sẽ vuông góc với MB. Tương tự, MB // Ox sẽ vuông góc với MA.

3. **Tính chất của MA và MB**:
- Vì MA // Oy nên góc OAM = góc OMB.
- Vì MB // Ox nên góc OMB = góc OAM.

4. **Tính chất hình thoi**: Để thiết lập rằng OA = OB, ta cần tính toán:
- OA = OM * cos(α/2) (độ dài chiều ngang từ O tới A)
- OB = OM * cos(α/2) (độ dài chiều dọc từ O tới B)

Vì vậy, OA = OB.

Với OA = OB và góc OAM = OMB (do tính chất parellel), ta đã chứng minh rằng OAMB là hình thoi.

---

**VD 2: Chứng minh ABCD là hình thoi**

Cho hình bình hành ABCD có hai đường cao AH = AK.

1. **Đánh giá độ dài hai độ cao**: Bởi vì AH và AK đều là chiều cao của hình bình hành từ các đỉnh A và D xuống cạnh BC, nên độ dài của chúng sẽ bằng nhau nếu và chỉ nếu hình bình hành này có hai cạnh đối diện (AB và CD) bằng nhau.

2. **Công thức hình thoi**: Trong một hình thoi, tất cả các cạnh đều bằng nhau. Do AH = AK, và A và D đều nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với BC, điều này dẫn đến:

\[ AB = AD và BC = CD \]

3. Bởi vì tính chất của hình bình hành là hai cạnh đối diện bằng nhau và đường cao của nó từ hai đỉnh bằng nhau, ta kết luận rằng 4 cạnh AB, BC, CD, DA sẽ đều bằng nhau.

Vì vậy, ABCD là hình thoi.

---

**VD 3: Chứng minh a) AE = AF và b) ∆AEF đều**

Cho hình thoi ABCD có góc B = 60°. Kẻ AE vuông góc với DC, AF vuông góc với BC.

1. **Chứng minh AE = AF**:
- Ta có AE vuông góc với cạnh DC và AF vuông góc với cạnh BC.
- Bởi vì trong hình thoi, đối diện các cạnh và góc tương ứng với nhau, ta cũng có BC = DC = AB = AD.
- Góc ABC = 60° thiết lập rằng hai đường AE và AF sẽ tách đều góc 60°.

2. **Tính toán độ dài**:
Áp dụng định lý sin cho tam giác AEF, chúng ta có:
\[
AE = AF
\]

3. **Chứng minh ∆AEF đều**:
- Từ AE = AF và góc AEF = 60°, ta suy ra rằng tất cả các cạnh của tam giác AEF đều bằng nhau.

Vì vậy, ∆AEF là tam giác đều.

Tóm lại, cả đầy đủ 3 ví dụ trên đều cung cấp các chứng minh cho tính chất hình học cần thiết của các hình thoi và hình bình hành trong bối cảnh đã cho.