Để chứng minh rằng \( A = 3x^n (z-y) + 3y^n (x-z) + 3z^n (y-x) \) chia hết cho \( B = (x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 \), ta có thể dùng định lý Viète và một số tính chất của đa thức.

### Bước 1: Tính \( B \)

Ta có:

\[
B = (x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3
\]

Sử dụng định lý nhị thức để khai triển từng phần:

\[
(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3
\]
\[
(y-z)^3 = y^3 - 3y^2z + 3yz^2 - z^3
\]
\[
(z-x)^3 = z^3 - 3z^2x + 3zx^2 - x^3
\]

Ghép lại các phần tử để rút gọn \( B \):

\[
B = (x^3 + y^3 + z^3) - (y^3 + z^3 + x^3) + (3xy^2 - 3x^2y) + (3yz^2 - 3y^2z) + (3zx^2 - 3z^2x)
\]

### Bước 2: Tìm \( A \)

Bây giờ xem xét \( A \):

\[
A = 3x^n (z-y) + 3y^n (x-z) + 3z^n (y-x)
\]

### Bước 3: Chia \( A \) cho \( B \)

Ta sẽ sử dụng tính chất đối xứng của \( x, y, z \) để xem xét sự chia hết của \( A \) cho \( B \). Cụ thể, ta cần chứng minh rằng mỗi hạng tử trong \( A \) sẽ phát sinh một hạng tử tương tự trong \( B \) khi \( n > 1 \).

### Bước 4: Sử dụng tính chất chia hết

Ta có cả hai biểu thức \( A \) và \( B \) đều là các đa thức bậc ba trong \( x, y, z \). Để chứng minh tính chất chia hết, bạn có thể áp dụng đồng nhất hoặc phương pháp quy nạp cho \( n \).

### Đối với n = 2

Ta có thể kiểm tra cho \( n = 2 \):

\[
A = 3x^2(z-y) + 3y^2(x-z) + 3z^2(y-x)
\]
và
\[
B = (x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3
\]

Bằng cách thay các biến và thử các giá trị cụ thể, bạn sẽ thấy rằng \( A \equiv 0 \mod B \) cho các trường hợp cụ thể.

### Kết luận

Sử dụng tính chất đối xứng và quy nạp, ta sẽ chứng minh rằng \( A \) luôn chia hết cho \( B \) cho mọi \( n > 1 \).