Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Vì \(m > 1\) nên \(1 - m < 0\), suy ra \(y' = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne  - 1\).

Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Khi đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\,\,4} \right]} y = y\left( 1 \right) = \frac{2}\).

Theo đề ra, ta có \(\frac{2} = 3 \Leftrightarrow m = 5\).

Đáp số: 5.