Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD lần lượt tại H và tại K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành, ta tiến hành theo từng phần một như sau:

### a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành

1. **Tính chất đối xứng**: Ta có hai tam giác vuông AHB và CKD. Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên BD là đường chéo. Do đó, BD chia tứ giác ABCD thành hai tam giác bằng nhau. Cụ thể, ta có:
- \( AB = CD \) (cạnh đối của hình bình hành)
- \( AH \perp BD \) (bởi vì AH vuông góc với BD)
- \( CK \perp BD \) (bởi vì CK vuông góc với BD)

2. **Xét hai cặp cạnh đối**: Ta cần chứng minh rằng \( AH = CK \) và \( AK = CH \).
- Xét tam giác AHB và tam giác CKD:
- Ta có \( AH \perp BD \) và \( CK \perp BD \), nên \( AH = CK \) vì chiều dài của đoạn vuông góc từ một điểm lên một đường thẳng là bằng nhau.

3. **Tiến tới kết luận**: Sau khi chứng minh được \( AH = CK \) và \( AK = CH \), từ đó ta có hai cặp cạnh đối của tứ giác AHCK bằng nhau, điều này chứng tỏ rằng AHCK là hình bình hành.

### b) Chứng minh BM // DN

1. **Chứng minh BM và DN song song**:
- Do AH vuông góc với BD tại H và CK vuông góc với BD tại K. Suy ra hai đoạn thẳng AH và CK là hai đường vuông góc với BD.
- Ta có tứ giác AHCK là hình bình hành, do đó AH và CK là các cặp cạnh đối.

2. **Công thức về giao điểm**:
- \( M \) là giao điểm của AH với CD và \( N \) là giao điểm của CK với AB. Ta cần chứng minh rằng BM // DN.
- Cả BM và DN đều nối từ các đoạn thẳng vuông góc với BD, do đó BM // DN theo tính chất đường thằng vuông góc với cùng một đường.

### c) Chứng minh 3 điểm M, O, N thẳng hàng

1. **Xét trung điểm O**: Gọi \( O \) là trung điểm của \( HK \).

2. **Chứng minh O nằm trên đoạn thẳng MN**:
- Do \( O \) là trung điểm của \( HK \), ta có:
- \( OH = OK \).

3. **Từ Bài b) suy ra rằng**:
- Từ BM // DN, ta có BM và DN cắt nhau tại một điểm duy nhất, và M, N có mối quan hệ không thay đổi với trung điểm O của HK.

4. **Kết luận**: Bởi vì cả hai đoạn thẳng BM và DN đều song song với đường thẳng BD mà O là trung điểm giữa HK vuông góc với đường thẳng đó, do vậy ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Như vậy, ta hoàn thành cả 3 yêu cầu bài toán.