Để phân tích đa thức \( x^2 + 2xy + y^2 - z^2 - 2z - 1 \) thành nhân tử, ta sẽ nhóm các hạng tử lại với nhau và xem xét có thể sử dụng định lý hạng tử hoàn toàn hay không.

1. **Nhóm hạng tử:** Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử theo các biến:

\[
(x^2 + 2xy + y^2) - (z^2 + 2z + 1)
\]

2. **Nhận diện đa thức hoàn hảo:** Phần \( x^2 + 2xy + y^2 \) có thể được viết thành bình phương:

\[
(x + y)^2
\]

Phần \( z^2 + 2z + 1 \) cũng là một đa thức hoàn hảo:

\[
(z + 1)^2
\]

3. **Thay thế vào biểu thức:** Ta có thể thay vào biểu thức ban đầu:

\[
(x + y)^2 - (z + 1)^2
\]

4. **Áp dụng công thức hiệu của hai bình phương:** Chúng ta có công thức:

\[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\]

Ở đây, \( a = (x + y) \) và \( b = (z + 1) \):

\[
= ((x + y) - (z + 1))((x + y) + (z + 1))
\]

5. **Đơn giản hóa:**

\[
= (x + y - z - 1)(x + y + z + 1)
\]

Vậy, đa thức \( x^2 + 2xy + y^2 - z^2 - 2z - 1 \) đã được phân tích thành nhân tử là:

\[
(x + y - z - 1)(x + y + z + 1)
\]