Gọi \(x\) là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng \(\left( {30000 \le x \le 50000} \right)\), đơn vị: đồng.

Theo đề ta có:

Nếu bán với giá \(50000\) đồng thì bán được \(40\) quả bưởi

Giảm giá \(5000\) đồng thì bán được thêm \[50\] quả.

Giảm giá \(50000 - x\) thì bán được thêm bao nhiêu quả?

Khi đó, số quả bưởi được bán thêm là: \(\left( {50000 - x} \right)\frac = \frac{1}\left( {50000 - x} \right)\).

Do đó, số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán \(x\):

\(40 + \frac{1}\left( {50000 - x} \right) = \frac{{ - 1}}x + 540\).

Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm lợi nhuận thu được (\(F\left( x \right)\): đồng).

Ta có: \(F\left( x \right) = \left( {\frac{{ - 1}}x + 540} \right)\left( {x - 30000} \right) = \frac{{ - 1}}{x^2} + 840x - 16200000\).

Lúc này, bài toán trở thành tìm GTLN của hàm số:

\(F\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{x^2} + 840x - 16200000\) với \(30000 \le x \le 50000\).

\(F'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}x + 840\)

\(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}x + 840 = 0 \Leftrightarrow x = 42000\).

Vì hàm \(F\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {30000;\,50000} \right]\) nên ta có:

\(F\left( {30000} \right) = 0\)

\(F\left( {42000} \right) = 1440000\)

\(F\left( {50000} \right) = 800000\).

Vậy với \(x = 42000\) thì \(F\left( x \right)\) đạt GTLN.

Vậy để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng là \(42000\) đồng.