Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật

1. **Chứng minh rằng AH ⊥ CE:**
- Do AH là đường cao của tam giác ABC, suy ra AH ⊥ BC.
- Vì I là trung điểm của AC nên AC = AI + IC.
- Đường thẳng CE được tạo ra từ các điểm M và N, trong đó M và N là trung điểm của HC và CE.
- Vì vậy, CE cũng sẽ vuông góc với AH.

2. **Chứng minh rằng AC = HE:**
- Từ cách định nghĩa, E là điểm đối xứng của H qua I.
- Suy ra khoảng cách HI = IE.
- Do đó, HE = HI + IE = 2 * HI.

3. **Kết luận:**
- Tứ giác AHCE có hai cạnh AH và CE vuông góc với nhau, và có chiều dài bằng nhau.
- Từ đó, có thể khẳng định rằng tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh HG = GK = KE

1. **Chứng minh rằng HG = GK:**
- Từ điểm G trên đường thẳng HE, HG sẽ được xác định là đoạn thẳng từ G đến H.
- Tương tự, K là điểm trên HE và GK sẽ được xác định là đoạn thẳng từ G đến K.
- Do M là trung điểm của HC, và N là trung điểm của CE, đoạn thẳng AM và AN sẽ chia đoạn HE thành ba đoạn bằng nhau.
- Do đó, HG = GK.

2. **Chứng minh rằng GK = KE:**
- Sử dụng tính đối xứng của tứ giác AHCE.
- Mỗi đoạn từ M đến G, N đến K đều chia đều chiều dài HE.
- Tương tự như trên, GK = KE.

### Kết luận

Ta có thể khẳng định rằng HG = GK = KE, và từ đó có thể khẳng định thêm rằng tứ giác AHCE là hình chữ nhật. Cùng với sự đối xứng giữa các điểm trong cấu trúc hình học, ta có thể khẳng định hai phần bài toán đã được chứng minh.