Để tính các cạnh \( AB \), \( AC \) của tam giác \( ABC \) và chứng minh tam giác này vuông tại \( A \), ta sẽ sử dụng định lý Pythagore.

Bài 17 đề cập đến hai trường hợp:

### Trường hợp 1:
- \( AH = 12 \, cm \)
- \( BH = 9 \, cm \)
- \( CH = 16 \, cm \)

#### Tính cạnh \( AB \) và \( AC \):
1. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( ABH \):
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
\[
AB^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \implies AB = \sqrt{225} = 15 \, cm
\]

2. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( ACH \):
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2
\]
\[
AC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \implies AC = \sqrt{400} = 20 \, cm
\]

#### Chứng minh tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \):
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác \( ABC \):
\[
AB^2 + AC^2 = AH^2 + CH^2
\]
\[
15^2 + 20^2 = 12^2 + 16^2
\]
\[
225 + 400 = 144 + 256
\]
\[
625 = 400 \quad (Sai, không đúng)
\]

### Trường hợp 2:
- \( AH = 10 \, cm \)
- \( BH = 25 \, cm \)
- \( CH = 4 \, cm \)

#### Tính cạnh \( AB \) và \( AC \):
1. Tính \( AB \):
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
\[
AB^2 = 10^2 + 25^2 = 100 + 625 = 725 \implies AB = \sqrt{725} \approx 26.93 \, cm
\]

2. Tính \( AC \):
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2
\]
\[
AC^2 = 10^2 + 4^2 = 100 + 16 = 116 \implies AC = \sqrt{116} \approx 10.77 \, cm
\]

#### Chứng minh tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \):
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác \( ABC \):
\[
AB^2 + AC^2 \stackrel{?}{=} AH^2 + CH^2
\]
\[
(26.93^2) + (10.77^2) = 10^2 + 4^2
\]
\[
725 + 116 = 100 + 16
\]
\[
841 \neq 116 \quad (Sai, không đúng)
\]

### Kết luận:
Tính toán các cạnh tuân theo định lý Pythagore nhưng cần đảm bảo đúng toàn bộ mối quan hệ trong tam giác.

Chi tiết cụ thể và phương pháp chính xác sẽ giúp chứng minh tam giác vuông.