Để xác định số nguyên \( x \) khiến \( C \) là số nguyên trong biểu thức \( C = 2 + \frac{1}{x + 3} \), ta cần phân tích phần phân số \( \frac{1}{x + 3} \).

1. \( C \) sẽ là số nguyên khi \( \frac{1}{x + 3} \) là số nguyên. Điều này xảy ra khi \( x + 3 \) là một trong các ước số của 1 (bao gồm cả 1 và -1).

2. Các ước số của 1 là: \( 1 \) và \( -1 \). Giải các phương trình tương ứng:
- \( x + 3 = 1 \) dẫn đến \( x = -2 \)
- \( x + 3 = -1 \) dẫn đến \( x = -4 \)

Như vậy, có 2 giá trị nguyên của \( x \) khiến \( C \) là số nguyên: \( x = -2 \) và \( x = -4 \).

Kết luận: Có 2 số nguyên \( x \) để \( C \) là số nguyên.