Để chứng minh các điều cần chứng minh trong bài toán, chúng ta sẽ làm theo từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác AGCE là hình bình hành

1. **Xét tứ giác AGCE:**
- G là giao điểm của AM và AN.
- N là trung điểm của EG, do đó \( EG = 2NG \).
- Xét các đoạn:
- \( AG \) và \( CE \).
- Dễ thấy \( AG \) đối diện với \( CE \).

2. **Xét điểm N là trung điểm:**
- Vì N là trung điểm của EG nên \( NG = \frac{1}{2}EG \).
- Tương tự, ta có phương trình cho tứ giác AGCE: \( AG = CE \) và \( AE = CG \).

3. **Chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau:**
\[
AG = CE \quad \text{và} \quad GE = AC
\]
Cả hai cặp cạnh này đều bình đẳng, do đó tứ giác AGCE là hình bình hành.

### b) Chứng minh MG = MF, BF // AE

1. **Xét MK và MF:**
- Với F trên tia AM sao cho \( AC = GE \).
- Suy ra \( GE = AC \), vì \( G \) là trọng tâm và \( AC = 2NG \).
- Dễ thấy \( M \) là trung điểm của \( AB \).

2. **Tính toán các đường trung tuyến:**
- Suy ra \( MG = MF \) vì điểm M là trung điểm nên \( MF = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}GE = MG \).
- Vậy \( MG = MF \).

3. **Thực hiện phép chiếu:**
- Xét BF và AE:
- Vì G là trọng tâm, có tỉ lệ cạnh \( AE:GF=1:2 \) từ đó suy ra BF // AE.

### c) Điều kiện để tứ giác AECF là hình thang cân

1. **Xét tứ giác AECF là hình thang cân:**
- Để tứ giác AECF là hình thang cân, ta cần \( AE = CF \).

2. **Tính bố cục các đoạn:**
- Từ việc chỉ ra rằng \( AC = GE \), yêu cầu cho \( AE = CF \) là điều kiện cần khi \( AC = 2MG \).

3. **Điều kiện:**
- Áp dụng định lý về định thức, ta cần tỉ lệ các cạnh trong tam giác ABC là cân, hay là góc AEC = ACF.

4. **Kết luận:**
- Tứ giác AECF là hình thang cân nếu \( AB = AC \).

Vậy từ cả ba phần trên, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán, kết luận rằng AECF là hình thang cân với các tỉ lệ nhất định trong ΔABC nhọn.