1) Cách 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Gọi số tiền ở khoản đầu tư thứ nhất của Bác Tiến là \(x\) (triệu đồng) \(\left( {0 \le x \le 400} \right).\)

Số tiền ở khoản đầu tư thứ hai là: \(400 - x\) (triệu đồng).

Số tiền lãi sau một năm ở khoản đầu tư thứ nhất là: \(6\% x = 0,06x\) (triệu đồng).

Số tiền lãi sau một năm ở khoản đầu tư thứ hai là: \(8\% \left( {400 - x} \right) = 32 - 0,08x\) (triệu đồng).

Theo bài, tổng số tiền lãi bác Tiến nhận được là 27 triệu đồng nên ta có phương trình:

\(0,06x + 32 - 0,08x = 27\).

Giải phương trình:

\(0,06x + 32 - 0,08x = 27\)

\( - 0,02x = 27 - 32\)

\( - 0,02x = - 5\)

\(x = 250\) (thoả mãn điều kiện).

Vậy số tiền ở khoản đầu tư thứ nhất là 250 triệu đồng và ở khoản đầu tư thứ hai là \(400 - 250 = 150\) (triệu đồng).

Cách 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Gọi số tiền ở khoản đầu tư thứ nhất và thứ hai của Bác Tiến lần lượt là \(x\) và \(y\) (triệu đồng) \(\left( {0 \le x \le 400,\,\,0 \le y \le 400} \right).\)

Theo bài, tổng số tiền đầu tư của bác Tiến là 400 triệu đồng nên ta có phương trình:

\(x + y = 400\) (1)

Số tiền lãi sau một năm ở khoản đầu tư thứ nhất là: \(6\% x = 0,06x\) (triệu đồng).

Số tiền lãi sau một năm ở khoản đầu tư thứ hai là: \(8\% y = 0,08y\) (triệu đồng).

Theo bài, tổng số tiền lãi bác Tiến nhận được là 27 triệu đồng nên ta có phương trình:

\(0,06x + 0,08y = 27\) (2)

Từ phương trình (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 400\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\0,06x + 0,08y = 27\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (1) ta có: \(y = 400 - x\) (3)

Thế vào phương trình (2) ta được: \(0,06x + 0,08\left( {400 - x} \right) = 27.\) (4)

Giải phương trình (4):

\(0,06x + 0,08\left( {400 - x} \right) = 27\)

\(0,06x + 32 - 0,08x = 27\)

\( - 0,02x = 27 - 32\)

\( - 0,02x = - 5\)

\(x = 250\) (thoả mãn điều kiện).

Thay giá trị \(x = 250\) vào phương trình (3) ta được: \(y = 400 - 250 = 150\)(thoả mãn điều kiện).

Vậy số tiền ở khoản đầu tư thứ nhất là 250 triệu đồng và ở khoản đầu tư thứ hai là 150 triệu đồng.

2) Giả sử theo kế hoạch mỗi ngày tổ sản xuất phải làm \(x\) (sản phẩm) \(\left( {x \in \mathbb{N}*,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x < 300} \right).\)

Khi đó, theo kế hoạch thời gian cần thiết để làm xong 300 sản phẩm là: \(\frac{x}\) (ngày).

Thực tế mỗi ngày số sản phẩm mà tổ làm được là: \(x + 10\) (sản phẩm).

Khi đó, thời gian thực tế mà tổ sản xuất làm xong 300 sản phẩm là: \(\frac\) (ngày).

Do tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày nên ta có phương trình:

\(\frac{x} - \frac = 1\) (1)

Giải phương trình (1):

\(\frac{x} - \frac = 1\)

\(\frac{1}{x} - \frac{1} = \frac{1}\)

\(\frac{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{1}\)

\(\frac{{{x^2} + 10x}} = \frac{1}\)

\({x^2} + 10x = 3\,\,000\)

\({x^2} - 50x + 60x - 3\,\,000 = 0\)

\(x\left( {x - 50} \right) + 60\left( {x - 50} \right) = 0\)

\(\left( {x - 50} \right)\left( {x + 60} \right) = 0\)

\(x - 50 = 0\) hoặc \(x + 60 = 0\)

\(x = 50\) (thoả mãn) \(x = - 60\) (không thoả mãn).

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày tổ sản xuất cần sản xuất 50 sản phẩm.

3) Để phương trình \({x^2} - 3x + a = 0\) nhận \(x = \frac{2}\) làm một nghiệm thì \(x = \frac{2}\) phải thỏa mãn phương trình đó.

Thay \(x = \frac{2}\) vào phương trình \({x^2} - 3x + a = 0\), ta được:

\({\left( {\frac{2}} \right)^2} - 3 \cdot \left( {\frac{2}} \right) + a = 0\)

\(\frac{4} - \frac{2} + a = 0\)

\(\frac{4} + a = 0\)

\(\frac{{ - 4}}{4} + a = 0\)

\( - 1 + a = 0\)

\(a = 1\).

Với \(a = 1\), phương trình bậc hai trở thành: \({x^2} - 3x + 1 = 0\) (1)

Do phương trình (1) có hai nghiệm nên theo hệ thức Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}{x_2} = 1.\end{array} \right.\)

Ta có \(x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {3^2} - 2 \cdot 1 = 7.\)

Vậy \(a = 1\) và tổng bình phương hai nghiệm của phương trình đã cho khi ấy bằng 7.