Để giải bài toán này, ta sẽ bắt đầu bằng cách xác định các thông số của tam giác vuông ∆MNP.

### a) Tính độ dài NP, IH và số đo góc P

1. **Tính độ dài NP**:
- Trong tam giác vuông MNP, theo định lý Pythagore:
\[
NP^2 = MN^2 + MP^2
\]
- Thay số vào:
\[
NP^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
\]
- Do đó:
\[
NP = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài IH**:
- Trong tam giác vuông MKI, ta có MK là đường cao từ M đến cạnh NP.
- Tính độ dài MK sử dụng công thức:
\[
MK = \frac{MN \cdot MP}{NP}
\]
- Thay số vào:
\[
MK = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]
- Để tính IH, sử dụng công thức:
\[
IH = \sqrt{MP^2 - MK^2}
\]
- Thay số vào:
\[
IH = \sqrt{8^2 - 4.8^2} = \sqrt{64 - 23.04} = \sqrt{40.96} \approx 6.4 \text{ cm}
\]

3. **Tính số đo góc P**:
- Sử dụng định nghĩa của sin trong tam giác vuông:
\[
\sin P = \frac{MN}{NP}
\]
- Thay số vào:
\[
\sin P = \frac{6}{10} = 0.6
\]
- Từ đó, suy ra số đo góc P:
\[
P = \arcsin(0.6) \approx 36.87^\circ
\]

### b) Chứng minh rằng \( MI \cdot MN = MH \cdot MP \)

- Sử dụng định lý về tỉ lệ trong tam giác vuông:
\[
\frac{MI}{MP} = \frac{MH}{MN}
\]
- Nhân chéo để chứng minh:
\[
MI \cdot MN = MH \cdot MP
\]

#### Kết quả

- **Độ dài NP**: 10 cm
- **Độ dài IH**: 6.4 cm
- **Số đo góc P**: ≈ 36.87°

- **Chứng minh**: \( MI \cdot MN = MH \cdot MP \) là đúng.