Để chứng minh tứ giác \( PCQM \) là hình chữ nhật, chúng ta sẽ chứng minh rằng các góc \( \angle PCQ \) và \( \angle PMQ \) là 90 độ.

### Giả thiết:
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( C \) với \( AC = BC \).
- \( AP = CQ \).
- \( PM \) là đường thẳng vẽ từ \( P \) song song với \( BC \).

### Chứng minh:
1. **Tính chất song song**: Vì \( PM \) song song với \( BC \) và \( C \) là điểm trong tam giác vuông, nên:
\[
\angle PMA = \angle CBA = 90^\circ
\]
(Góc \( CBA \) là góc vuông do \( ABC \) vuông tại \( C \)).

2. **Ký hiệu độ dài**: Gọi \( AP = CQ = x \). Do đó, ta có:
\[
AC = AP + PC \quad \text{và} \quad BC = BQ + QC
\]

3. **Diện tích hình chữ nhật**: Ta có các đoạn thẳng:
- \( PB \) chính là cạnh vuông góc với \( AC \).
- \( QC \) chính là cạnh vuông góc với \( BC \).

4. **Thực hiện chứng minh hai góc**:
- Từ \( C \), kẻ đường thẳng \( CQ \) vuông góc với \( AC \) có nghĩa là:
\[
\angle PCQ = 90^\circ
\]

5. **Kết luận**: Cả hai góc \( \angle PCQ \) và \( \angle PMQ \) đều bằng 90 độ, do đó, tứ giác \( PCQM \) là hình chữ nhật.

Vậy chúng ta đã chứng minh tứ giác \( PCQM \) là hình chữ nhật.