Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \( f(x)=x^3-3x^2+2x \)? Giải phương trình \( \int_0^2 (2x + 1)dx \)? Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y=x^2+1 \) và \( y=4 \) trong đoạn \([1,2]\)

Chúng ta sẽ giải quyết từng phần trong bài toán theo yêu cầu.

### 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)

#### Bước 1: Tính đạo hàm
Tính đạo hàm của hàm số:
\[
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
\]

#### Bước 2: Tìm nghiệm của \( f'(x) = 0 \)
Giải phương trình:
\[
3x^2 - 6x + 2 = 0
\]
Áp dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}
\]

Nghiệm gần \( x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \) và \( x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \).

#### Bước 3: Tính biến thiên
- Tính giá trị của \( f(x) \) tại các điểm tới hạn và các đầu đoạn cần khảo sát để thuận tiện vẽ đồ thị.
- Phân tích dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng xác định bởi các nghiệm để xác định tính tăng giảm của hàm.

#### Bước 4: Vẽ đồ thị
- Dựa vào các thông tin trên, vẽ đồ thị hàm số.

### 2. Giải phương trình \( \int_0^2 (2x + 1)dx \)

Tính tích phân:
\[
\int_0^2 (2x + 1)dx = \left[ x^2 + x \right]_0^2 = (2^2 + 2) - (0^2 + 0) = 4 + 2 = 6
\]

### 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^2 + 1 \) và \( y = 4 \) trong đoạn \([1, 2]\)

Bước 1: Tìm giao điểm
Giải phương trình:
\[
x^2 + 1 = 4 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \sqrt{3} \approx 1.732
\]

Bước 2: Diện tích
Diện tích \( S \) được tính bằng công thức:
\[
S = \int_1^{\sqrt{3}} (4 - (x^2 + 1))dx + \int_{\sqrt{3}}^2 (4 - (x^2 + 1))dx
\]

- Tích phân đầu tiên:
\[
\int_1^{\sqrt{3}} (3 - x^2)dx = \left[ 3x - \frac{x^3}{3} \right]_1^{\sqrt{3}} = \left( 3\sqrt{3} - \frac{(\sqrt{3})^3}{3} \right) - \left( 3 - \frac{1}{3} \right)
\]
- Tích phân thứ hai:
\[
\int_{\sqrt{3}}^2 (3 - x^2)dx = \left[ 3x - \frac{x^3}{3} \right]_{\sqrt{3}}^2
\]

Cộng hai kết quả này lại để tính diện tích tổng thể.

### Kết luận
Chúng ta đã khảo sát hàm số, tính tích phân và diện tích giữa các đồ thị. Bạn có thể tiến hành từng bước tính toán cụ thể để tìm được các giá trị chính xác. Nếu cần hỗ trợ chi tiết hơn về từng phép tính, hãy cho tôi biết!