Để giải bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về tam giác vuông và định lý Pythagore.

1. **Tính độ dài cạnh BC:**

\[
BC = BH + HC = 9 \, \text{cm} + 16 \, \text{cm} = 25 \, \text{cm}
\]

2. **Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:**

Trong tam giác ABC vuông tại A:

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

Thay các giá trị đã biết vào:

\[
AB^2 + (20 \, \text{cm})^2 = (25 \, \text{cm})^2
\]

Tính:

\[
AB^2 + 400 = 625
\]

\[
AB^2 = 625 - 400 = 225
\]

\[
AB = \sqrt{225} = 15 \, \text{cm}
\]

3. **Tính độ dài cạnh AH:**

Xét tam giác vuông ABH, có AH vuông góc với BC. Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABH:

\[
AH^2 + BH^2 = AB^2
\]

Thay các giá trị vào:

\[
AH^2 + (9 \, \text{cm})^2 = (15 \, \text{cm})^2
\]

Tính:

\[
AH^2 + 81 = 225
\]

\[
AH^2 = 225 - 81 = 144
\]

\[
AH = \sqrt{144} = 12 \, \text{cm}
\]

**Kết quả:**

- Độ dài cạnh AB là **15 cm**.
- Độ dài cạnh AH là **12 cm**.