Để chứng minh rằng số có dạng \( aaaaaa \) (với \( a \) là một chữ số từ 0 đến 9) luôn chia hết cho 37, ta có thể biểu diễn số này một cách chính xác.

Số \( aaaaaa \) có thể được viết dưới dạng:

\[
aaaaaa = a \times 10^5 + a \times 10^4 + a \times 10^3 + a \times 10^2 + a \times 10^1 + a \times 10^0
\]

Ta có thể gộp lại thành:

\[
aaaaaa = a \times (10^5 + 10^4 + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0)
\]

Tiến hành tính giá trị của tổng \( 10^5 + 10^4 + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0 \):

\[
10^5 + 10^4 + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0 = 100000 + 10000 + 1000 + 100 + 10 + 1 = 111111
\]

Bây giờ chúng ta cần kiểm tra xem \( 111111 \) có chia hết cho \( 37 \) hay không. Để làm điều này, ta thực hiện phép chia:

\[
111111 \div 37
\]

Chia \( 111111 \) cho \( 37 \):

\[
111111 = 37 \times 3003
\]

Vậy \( 111111 \) chia hết cho \( 37 \).

Kết hợp lại, ta có:

\[
aaaaaa = a \times 111111
\]

Vì \( 111111 \) chia hết cho \( 37 \), do đó \( aaaaaa \) luôn chia hết cho \( 37 \) với bất kỳ giá trị nào của \( a \).

Do đó, ta đã chứng minh rằng số có dạng \( aaaaaa \) luôn chia hết cho \( 37 \).