Cho ΔABC nhọn có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt tia phần giác của BAC tại I. Kẻ IH ⊥ AB tại H, IK ⊥ AC tại K

Để chứng minh các kết quả trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và hình học phẳng.

### a) Chứng minh \( IB = IC \)

1. **Tính chất trung điểm**: M là trung điểm của BC, nên \( BM = MC \).
2. **Tam giác vuông**: Trong tam giác BAI và CAI, đường thẳng MI vuông góc với BC, suy ra MI là đường cao.
3. **Tính đối xứng**: Do \( AB < AC \), nên \(\triangle AIB \) và \(\triangle AIC\) có cạnh AO chung và hai cạnh vuông góc MI bằng nhau (vì M là trung điểm), suy ra hai tam giác này là đồng dạng và \( IB = IC \).

### b) Chứng minh \( IH = IK \)

1. **Đường vuông góc**: Theo định nghĩa, \( IH \perp AB \) và \( IK \perp AC \).
2. **Sử dụng tính chất đường cao**: Tam giác AHI và AKI có chung cạnh AI và các cạnh vuông góc với AB và AC, do đó, hai tam giác này là đồng dạng.
3. **Tính chất đồng dạng**: Từ đó, suy ra \( IH = IK \).

### c) Chứng minh \( BH = CK \)

1. **Sử dụng tính chất hình học**: Ta thấy H nằm trên đường thẳng vuông góc với AB đi qua I, và K cũng nằm trên đường vuông góc với AC đi qua I.
2. **Từ các tam giác đồng dạng**: Khi đã chứng minh \( IH = IK \), ta có thể suy ra rằng hai đoạn BH và CK (các đoạn còn lại tương ứng) bởi vì chúng được cấu thành từ các đoạn vuông góc từ H đến B và từ K đến C.
3. **Kết luận**: Do tính đối xứng và các tính chất hình học, suy ra \( BH = CK \).

Kết luận:
- \( IB = IC \)
- \( IH = IK \)
- \( BH = CK \)

Ba điều này đã được chứng minh dựa trên các tính chất hình học và đường cao trong tam giác.