Để tìm số nguyên dương \( a \) sao cho \( 4a + 5 \) và \( a + 3 \) đều là số chính phương, ta bắt đầu từ phương trình đã cho.

1. **Gọi** \( 4a + 5 = n^2 \) và \( a + 3 = m^2 \), với \( n \) và \( m \) là các số nguyên dương.
2. Từ \( a + 3 = m^2 \), ta có \( a = m^2 - 3 \).
3. Thay \( a \) vào biểu thức của \( 4a + 5 \):

\[
4(m^2 - 3) + 5 = n^2
\]

Sử dụng điều này, ta có:

\[
4m^2 - 12 + 5 = n^2
\]
\[
4m^2 - 7 = n^2
\]

4. **Tái tổ hợp**:

Từ phương trình \( n^2 = 4m^2 - 7 \), ta có thể sử dụng phương trình Pell hoặc các phương pháp khác để giải.

5. **Tìm nghiệm**:

Ta cần tìm các cặp \( (n, m) \) để \( n^2 \) trở thành số chính phương. Có thể thử nghiệm các giá trị của \( m \):

- **Nếu** \( m = 2 \):
\[
n^2 = 4(2^2) - 7 = 16 - 7 = 9 \Rightarrow n = 3 \Rightarrow a = 2^2 - 3 = 1
\]

- **Nếu** \( m = 3 \):
\[
n^2 = 4(3^2) - 7 = 36 - 7 = 29 \quad (\text{không phải số chính phương})
\]

- **Nếu** \( m = 4 \):
\[
n^2 = 4(4^2) - 7 = 64 - 7 = 57 \quad (\text{không phải số chính phương})
\]

- **Nếu** \( m = 5 \):
\[
n^2 = 4(5^2) - 7 = 100 - 7 = 93 \quad (\text{không phải số chính phương})
\]

- **Nếu** \( m = 6 \):
\[
n^2 = 4(6^2) - 7 = 144 - 7 = 137 \quad (\text{không phải số chính phương})
\]

- **Nếu** \( m = 7 \):
\[
n^2 = 4(7^2) - 7 = 196 - 7 = 189 \quad (\text{không phải số chính phương})
\]

Tiếp tục như vậy, ta có thể thấy rằng chỉ có \( m = 2 \) là cho \( a = 1 \) mà hai biểu thức trên vẫn là số chính phương.

Do đó, **nghiệm duy nhất là**:

\[
a = 1
\]