Cho hình bình hành ABCD, vẽ ra phía ngoài của hình bình hành các tam giác đều ADD' và DCC'

Để chứng minh tam giác \( BD'C' \) là tam giác đều trong hình bình hành \( ABCD \) với các tam giác đều \( ADD' \) và \( DCC' \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Các thuộc tính của hình bình hành**:
- Trong \( ABCD \), ta có \( AB = CD \) và \( AD = BC \).
- Các góc đối diện trong hình bình hành thì bằng nhau, tức là \( \angle ABC = \angle ADC \) và \( \angle ABD = \angle DCB \).

2. **Hình thành các tam giác đều**:
- Tam giác \( ADD' \) đều nên \( AD = DD' \) và \( \angle ADD' = 60^\circ \).
- Tam giác \( DCC' \) đều nên \( DC = CC' \) và \( \angle DCC' = 60^\circ \).

3. **Tính toán vị trí của các điểm**:
- Ta xét hệ tọa độ: cho \( A(0,0) \), \( B(a,0) \), \( D(0,b) \) và do đó \( C(a,b) \).
- Gọi \( D' \) là điểm được tạo thành từ \( D \) và điểm \( D' \) nằm bên ngoài của mặt phẳng tạo thành góc \( 60^\circ \) với cạnh \( AD \). Do đó, tọa độ của \( D' \) có thể được tính bằng:
\[
D' = \left(0 + DD' \cdot \cos(60^\circ), b + DD' \cdot \sin(60^\circ)\right) = \left(0 + \frac{DD'}{2}, b + \frac{DD'}{\sqrt{3}}\right)
\]
- Tương tự cho \( C' \), ta có:
\[
C' = \left(a + CC' \cdot \cos(60^\circ), b + CC' \cdot \sin(60^\circ)\right) = \left(a + \frac{CC'}{2}, b + \frac{CC'}{\sqrt{3}}\right)
\]

4. **Tính độ dài các cạnh**:
- Để chứng minh tam giác \( BD'C' \) là tam giác đều, ta cần chứng minh \( BD' = C'D' = BC' \).
- Ta tính độ dài \( BD' \), \( DC' \), và \( B'C' \):
- \( BD' \): Được tính từ tọa độ của \( B(a, 0) \) và \( D' \).
- \( D'C' \): Được tính từ tọa độ của \( D' \) và \( C' \).
- \( BC' \): Được tính từ tọa độ của \( B \) và \( C' \).

5. **Chứng minh độ dài bằng nhau**:
- Do \( D' \) và \( C' \) đều được xây dựng từ các tam giác đều nên các cạnh \( BD' \), \( DC' \), và \( BC' \) sẽ đều bằng nhau nhờ đặc tính của tam giác đều.

Cuối cùng, ta kết luận rằng tam giác \( BD'C' \) là tam giác đều, hoàn thành việc chứng minh.