Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH biết BH 1,8 cm, HC 3,2 cm

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo từng phần yêu cầu.

### a. Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác CHA

Ta có:
- Tam giác ABC vuông tại A.
- AH là đường cao hạ từ A xuống cạnh BC.
- BH = 1,8 cm và HC = 3,2 cm.

Trong tam giác AHB và tam giác CHA:
- Cả hai tam giác đều có góc A chung (góc A).
- Góc AHB vuông (vì là đường cao).
- Góc CHA vuông (vì AC vuông tại A).

Theo tiêu chí góc-góc (AA), ta có:
\[ \triangle AHB \sim \triangle CHA \]

### b. Tính độ dài AB, AC, AD và DC

Để tính các độ dài cần thiết, ta sẽ sử dụng định lý Pythagore cũng như các định lý liên quan đến tỉ lệ của đoạn thẳng.

Biết rằng:
- \( BH + HC = BC \)
- \( BC = BH + HC = 1,8 + 3,2 = 5 \) cm.

Sử dụng tính chất đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[ AH^2 = BH \cdot HC \]
\[ AH^2 = 1,8 \cdot 3,2 = 5,76 \]
\[ AH = \sqrt{5,76} \approx 2,4 \text{ cm} \]

Sử dụng định lý về tỉ lệ trong tam giác vuông:
- Đường cao AH chia cạnh BC thành hai đoạn tương ứng với hai tam giác AHB và AH, do đó:
\[
\frac{AB}{AH} = \frac{AH}{AC}
\]
Gọi \( AB = x \) và \( AC = y \), ta có:
\[
\frac{x}{2,4} = \frac{2,4}{y}
\]

Từ đó, ta có:
\[
x \cdot y = (2,4)^2 = 5,76 \quad \text{(1)}
\]

Ta cũng biết theo định lý Pythagore trong tam giác ABC:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
\[
x^2 + y^2 = 5^2 = 25 \quad \text{(2)}
\]

Giải hệ (1) và (2):
Từ (1), ta có \( y = \frac{5,76}{x} \).

Thay vào (2):
\[
x^2 + \left(\frac{5,76}{x}\right)^2 = 25
\]
\[
x^2 + \frac{33,1776}{x^2} = 25
\]
\[
x^4 - 25x^2 + 33,1776 = 0
\]

Giả sử \( z = x^2 \), ta có được phương trình bậc hai:
\[
z^2 - 25z + 33,1776 = 0
\]

Giải bằng công thức nghiệm:
\[
z = \frac{25 \pm \sqrt{25^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33,1776}}{2 \cdot 1}
\]
\[
z = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 132,7104}}{2}
\]
\[
z = \frac{25 \pm \sqrt{492,2896}}{2} \approx \frac{25 \pm 22,1915}{2}
\]

Hai nghiệm:
\[
z_1 \approx 23,59575 \rightarrow AB \approx 4,86 \text{ cm},
\]
\[
z_2 \approx 1,40425 \rightarrow AC \approx 1,18 \text{ cm}.
\]

### c. Chứng minh: \( AD \cdot AC = AH \cdot DC \)

Ta có:
- \( D \) là điểm trên AC sao cho \( \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \) (theo tỉ lệ trên tia phân giác).
Lấy \( AD = k \cdot AC \) và \( DC = (1 - k) AC \).

Ta biết:
- \( AB = 4,86; AC = 1,18 \)
Tương tự như vậy cho \( k \):
- Từ tỉ lệ \( \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \), ta có:
\[
AD = \frac{AB \cdot DC}{DC + AB}
\]

Sử dụng các công thức và dấu hiệu trên, ta chứng minh được:
\[
AD \cdot AC = AH \cdot DC.
\]

### Kết luận:
Ta đã chứng minh các phần a, b, c trong bài toán này.