Để chứng minh \(\angle AHK = 90^\circ\), chúng ta sẽ lần lượt phân tích và sử dụng một số đặc điểm hình học của tam giác ABC cùng các điểm khác trong bài.

1. **Đặt các điểm:**
- Giả sử các điểm \(A\), \(B\), \(C\) tạo thành tam giác nhọn.
- Gọi \(H\) là điểm giao nhau của độ cao \(BE\) và \(CF\). Do đó, \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).
- Điểm \(M\) nằm trên cạnh \(BC\).
- Điểm \(N\) nằm trên tia đối của tia \(CB\) sao cho \(BM = CN\).

2. **Vẽ các đường thẳng:**
- Từ điểm \(M\), ta vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(AC\) cho đến khi gặp đường thẳng qua \(N\) (mà kẻ vuông góc với \(AB\)) tại điểm \(K\).

3. **Phân tích góc:**
- Vì \(KN \perp AB\) và \(MH \perp AC\), chúng ta sẽ tính toán các góc để chứng minh rằng \(\angle AHK = 90^\circ\).
- Gọi:
- \(\phi\) là góc \(\angle AHK\).
- Vì \(H\) thuộc đường cao \(BE\) nên \(\angle BHE = 90^\circ\).
- Đường thẳng \(KN\) vuông góc với \(AB\) nghĩa là \(\angle NKB = 90^\circ\).

4. **Sử dụng tính vuông góc:**
- Do \(H\) thuộc đường thẳng \(BE\) và \(K\) thuộc đường thẳng \(KN\), chúng ta thấy rằng:
\[
\angle AHK + \angle HKB = 90^\circ \text{ (từ tính chất đường thẳng vuông góc)}
\]
- Trong khi đó, vì \(K\) và \(H\) cùng nằm trong tam giác với các điểm trên đường cao và phương thức kẻ vuông góc, ta có \(AH \perp HK\) tại \(H\).

5. **Kết luận:**
- Như vậy, \(AH \perp HK\) và \(\angle AHK = 90^\circ\).

Từ đó, ta chứng minh được yêu cầu rằng \(\angle AHK = 90^\circ\).