Tìm x, \(\frac{x-1}{x+2} \cdot \frac{x-2}{x+1} = \frac{2x-1}{x^2+3x+2}\)

Để giải bài toán \(\frac{x-1}{x+2} \cdot \frac{x-2}{x+1} = \frac{2x-1}{x^2+3x+2}\), trước tiên ta sẽ phân tích biểu thức bên phải và bên trái:

### Bước 1: Phân Tích

1. **Biểu thức bên phải**:
\[
x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)
\]
Do đó, \(\frac{2x-1}{x^2+3x+2} = \frac{2x-1}{(x+1)(x+2)}\).

2. **Biểu thức bên trái**:
\[
\frac{x-1}{x+2} \cdot \frac{x-2}{x+1} = \frac{(x-1)(x-2)}{(x+2)(x+1)}
\]

### Bước 2: Thiết lập phương trình

Ta có phương trình:
\[
\frac{(x-1)(x-2)}{(x+2)(x+1)} = \frac{2x-1}{(x+1)(x+2)}
\]

### Bước 3: Nhân chéo

Ta có thể nhân chéo để đơn giản hóa phương trình:
\[
(x-1)(x-2) = 2x - 1
\]

### Bước 4: Giải phương trình

Mở rộng biểu thức bên trái:
\[
x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2
\]
Vì vậy phương trình trở thành:
\[
x^2 - 3x + 2 = 2x - 1
\]

Chuyển tất cả về một phía:
\[
x^2 - 3x + 2 - 2x + 1 = 0
\]
\[
x^2 - 5x + 3 = 0
\]

### Bước 5: Giải phương trình bậc 2

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \(a=1\), \(b=-5\), \(c=3\):
\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}
\]

### Kết quả

Hai nghiệm của phương trình là:
\[
x_1 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}
\]

Vậy nghiệm của bài toán là:
\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}
\]