Để giải phương trình \( \frac{3}{3x - 2} = \frac{1}{x} + 2 \), chúng ta sẽ tiến hành bước từng bước:

Bước 1: Chuyển vế phải sang vế trái:
\[
\frac{3}{3x - 2} - 2 = \frac{1}{x}
\]

Bước 2: Tìm một mẫu số chung cho vế trái. Mẫu số chung sẽ là \( 3x - 2 \):
\[
\frac{3 - 2(3x - 2)}{3x - 2} = \frac{1}{x}
\]
Giải thích: \( 2 \) được viết thành \( \frac{2(3x - 2)}{3x - 2} \).

Bước 3: Rút gọn vế trái:
\[
\frac{3 - (6x - 4)}{3x - 2} = \frac{1}{x}
\]
\[
\frac{3 - 6x + 4}{3x - 2} = \frac{1}{x}
\]
\[
\frac{7 - 6x}{3x - 2} = \frac{1}{x}
\]

Bước 4: Nhân chéo để loại bỏ phân số:
\[
(7 - 6x)x = 1(3x - 2)
\]
\[
7x - 6x^2 = 3x - 2
\]

Bước 5: Chuyển các hạng tử về một vế:
\[
7x - 3x + 2 - 6x^2 = 0
\]
\[
-6x^2 + 4x + 2 = 0
\]

Bước 6: Nhân với -1 để dễ giải:
\[
6x^2 - 4x - 2 = 0
\]

Bước 7: Sử dụng công thức nghiệm bậc 2 \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Trong trường hợp này, \( a = 6, b = -4, c = -2 \):

Bước 8: Tính delta:
\[
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 16 + 48 = 64
\]

Bước 9: Tính nghiệm:
\[
x = \frac{4 \pm 8}{12}
\]
\[
x_1 = \frac{4 + 8}{12} = 1 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{4 - 8}{12} = -\frac{1}{3}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1 \) và \( x = -\frac{1}{3} \).

Bước 10: Kiểm tra xem có nghiệm nào không hợp lệ:
- Với \( x = 1 \):
\( 3(1) - 2 = 1 \) (hợp lệ)
- Với \( x = -\frac{1}{3} \):
\( 3(-\frac{1}{3}) - 2 = -1 - 2 = -3 \) (hợp lệ)

Do đó, cả hai nghiệm đều hợp lệ.

Kết luận: Nghiệm của phương trình là:
\[
x = 1 \quad \text{và} \quad x = -\frac{1}{3}
\]