Gọi số học sinh dự thi tại trường A là \( x \) và số học sinh dự thi tại trường B là \( y \).

Theo đề bài, chúng ta có các thông tin sau:

1. Tổng số học sinh dự thi:
\[
x + y = 350.
\]

2. Số học sinh trúng tuyển:
- Trường A có 97% học sinh trúng tuyển, nên số học sinh trúng tuyển của trường A là \( 0.97x \).
- Trường B có 96% học sinh trúng tuyển, nên số học sinh trúng tuyển của trường B là \( 0.96y \).

Tổng số học sinh trúng tuyển là 338:
\[
0.97x + 0.96y = 338.
\]

Chúng ta có hệ phương trình sau:
1. \( x + y = 350 \)
2. \( 0.97x + 0.96y = 338 \)

Từ phương trình 1, ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):
\[
y = 350 - x.
\]

Thay \( y \) vào phương trình 2:
\[
0.97x + 0.96(350 - x) = 338.
\]

Giải phương trình:
\[
0.97x + 336 - 0.96x = 338,
\]
\[
0.01x + 336 = 338,
\]
\[
0.01x = 2,
\]
\[
x = 200.
\]

Vậy số học sinh dự thi tại trường A là \( x = 200 \).

Tìm \( y \):
\[
y = 350 - x = 350 - 200 = 150.
\]

Vậy, số học sinh dự thi của hai trường là:
- Trường A: 200 học sinh.
- Trường B: 150 học sinh.