Để rút gọn các biểu thức trong bài toán này, ta sẽ xử lý từng phần.

### a)

Biểu thức là:
\[
\sqrt{a^2 + 6a + 9} + \sqrt{a^2 - 6a + 9}
\]

Đầu tiên, ta có thể nhận xét về các biểu thức dưới dấu căn.

- \( a^2 + 6a + 9 = (a + 3)^2 \)
- \( a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2 \)

Vì vậy, ta có:
\[
\sqrt{(a + 3)^2} + \sqrt{(a - 3)^2}
\]

Như vậy:
\[
|a + 3| + |a - 3|
\]

Xét các trường hợp dựa trên giá trị của \( a \):
1. Nếu \( a \geq 3 \): \( |a + 3| + |a - 3| = (a + 3) + (a - 3) = 2a \)
2. Nếu \( -3 \leq a < 3 \): \( |a + 3| + |a - 3| = (a + 3) + (3 - a) = 6 \)
3. Nếu \( a < -3 \): \( |a + 3| + |a - 3| = (-a - 3) + (-a + 3) = -2a \)

Với điều kiện \( -3 \leq a \leq 3 \), ta có biểu thức rút gọn là:
\[
6
\]

### b)

Biểu thức là:
\[
\sqrt{a} + 2\sqrt{a - 1} + \sqrt{a - 2}\sqrt{a - 1}
\]

Có thể viết lại biểu thức thứ ba dưới dạng:
\[
\sqrt{(a - 2)(a - 1)}
\]

Ta xác định từng phần của biểu thức:
- \( \sqrt{a} \) luôn dương nếu \( a \geq 0 \).
- \( 2\sqrt{a - 1} \) có nghĩa khi \( a \geq 1 \).
- \( \sqrt{(a - 2)(a - 1)} \) có nghĩa khi \( a \geq 2 \).

Giả sử \( 1 \leq a < 2 \):
\[
\sqrt{a} + 2\sqrt{a - 1} + 0 = \sqrt{a} + 2\sqrt{a - 1}
\]

Hay tại khoảng \( 2 \leq a < 2 \), có thể đơn giản hóa riêng biệt nhưng trong khoảng giá trị này có thể gần hơn.

Tùy thuộc vào giá trị của \( a \), biểu thức có thể được tính toán cụ thể.

Như vậy, từ các bước trên, các biểu thức đã được rút gọn.