Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( f(x) = \frac{x^3 - 1}{x - 1} \), trước tiên chúng ta cần xác định các điều kiện để phân thức này có nghĩa. Biểu thức này không xác định tại \( x = 1 \).

Ta sẽ đơn giản hóa biểu thức \( f(x) \):

\[
f(x) = \frac{x^3 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} \quad (x \neq 1)
\]

Do đó, chúng ta có:

\[
f(x) = x^2 + x + 1 \quad (x \neq 1)
\]

Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai \( f(x) = x^2 + x + 1 \) trên tất cả các giá trị của \( x \).

Hàm bậc hai này không có cực tiểu trong khoảng \( (-\infty, +\infty) \), nhưng chúng ta có thể tìm giao điểm với trục hoành và các giá trị của hàm:

Để tìm cực trị của hàm, ta cần tính đạo hàm:

\[
f'(x) = 2x + 1
\]

Đặt \( f'(x) = 0 \):

\[
2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}
\]

Tiếp theo, ta tính giá trị của hàm tại điểm này:

\[
f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4}
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( f(x) = x^2 + x + 1 \) có tại \( x = -\frac{1}{2} \) và giá trị nhỏ nhất là \( \frac{3}{4} \).

Tổng kết:
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( \frac{x^3 - 1}{x - 1} \) là \( \frac{3}{4} \) tại \( x = -\frac{1}{2} \).