Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = -x^2 + 2xy - 4y^2 + 2x + 10y - 3 \), ta cần phân tích và biến đổi nó.

Biểu thức này có thể được viết lại dưới dạng hàm bậc hai theo biến \( x \) và \( y \). Ta có thể nhóm các hạng tử lại:

\[
A = -x^2 + (2y + 2)x + (-4y^2 + 10y - 3)
\]

Bây giờ ta sẽ xem xét phần \( A \) như một hàm số của \( x \) với \( y \) là tham số:

\[
A = -x^2 + (2y + 2)x + (-4y^2 + 10y - 3)
\]

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm này theo \( x \), ta tính đạo hàm và tìm điểm cực trị:

\[
\frac{dA}{dx} = -2x + (2y + 2)
\]

Đặt \(\frac{dA}{dx} = 0\):

\[
-2x + (2y + 2) = 0 \implies x = y + 1
\]

Tiếp theo, ta thay giá trị \( x = y + 1 \) vào biểu thức \( A \):

\[
A = - (y + 1)^2 + 2(y + 1)y - 4y^2 + 2(y + 1) + 10y - 3
\]

Giải phương trình này:

1. Tính \( -(y + 1)^2 \):
\[
-(y^2 + 2y + 1) = -y^2 - 2y - 1
\]

2. Tính \( 2(y + 1)y \):
\[
2y^2 + 2y
\]

3. Thay vào biểu thức:
\[
A = -y^2 - 2y - 1 + 2y^2 + 2y - 4y^2 + 2y + 10y - 3
\]

4. Gộp các hạng tử:
\[
A = (-y^2 - 4y^2 + 2y^2) + (-2y + 2y + 2y + 10y) + (-1 - 3)
\]
\[
A = -3y^2 + 12y - 4
\]

Bây giờ tìm giá trị lớn nhất của hàm bậc hai \( A(y) = -3y^2 + 12y - 4 \).

Giá trị lớn nhất xảy ra ở đỉnh của đồ thị parabol, với tọa độ:

\[
y = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot -3} = 2
\]

Thay \( y = 2 \) vào biểu thức \( A \):

\[
A = -3(2)^2 + 12(2) - 4
\]
\[
= -3 \cdot 4 + 24 - 4
\]
\[
= -12 + 24 - 4 = 8
\]

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( A \) là \( 8 \).