Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB tại E, kẻ HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh AH^2 = AB.AE và AB.AE = AC.AF

Chứng minh các đẳng thức đã cho trong tam giác nhọn ABC với đường cao AH như sau:

### a) Chứng minh rằng \( AH^2 = AB \cdot AE \) và \( AB \cdot AE = AC \cdot AF \)

1. **Chứng minh \( AH^2 = AB \cdot AE \)**:
- Xét tam giác vuông AHE, theo định lý Pythagore, ta có:
\[
AH^2 + HE^2 = AE^2
\]
- Do \( HE \) vuông góc với \( AB \) nên ta có:
\[
HE = AB \sin A
\]
- Thay vào biểu thức trên:
\[
AH^2 + (AB \sin A)^2 = AE^2
\]

- Sử dụng tính chất của tỉ lệ trong tam giác, ta có:
\[
AE = AB \cos A \Rightarrow AE^2 = (AB \cos A)^2 = AB^2 \cos^2 A
\]
- Thay thế vào Pythagore:
\[
AH^2 + AB^2 \sin^2 A = AB^2 \cos^2 A
\]
- Sau đó, do \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \), ta có:
\[
AH^2 = AB^2 \cdot (1 - \sin^2 A) = AB^2 \cos^2 A \Rightarrow AH^2 = AB \cdot AE
\]

2. **Chứng minh \( AB \cdot AE = AC \cdot AF \)**:
- Xét tam giác vuông AHF, theo định lý Pythagore, ta có:
\[
AH^2 + HF^2 = AF^2
\]
- Do \( HF \) vuông góc với \( AC \) nên ta có:
\[
HF = AC \sin A
\]
- Tương tự như trên, ta có:
\[
AH^2 + (AC \sin A)^2 = AF^2
\]

- Xét tương tự như phần trước, với \( AF = AC \cos A \):
\[
AF^2 = (AC \cos A)^2 = AC^2 \cos^2 A
\]
- Thay thế vào Pythagore:
\[
AH^2 + AC^2 \sin^2 A = AC^2 \cos^2 A
\]
- Cuối cùng, từ các tỉ lệ tương tự, ta rút ra được:
\[
AB \cdot AE = AC \cdot AF
\]

### b) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt BC tại D; EF cắt AH tại O

- Từ các thuộc tính của hình thang, ta thấy rằng nếu \( D \) là giao điểm của \( A \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( EF \) và \( EF \) cắt \( AH \) tại \( O \), ta có thể sử dụng tỉ lệ giữa các cạnh trong tam giác để thiết lập mối liên hệ giữa diện tích và hình học.

- Từ đây, có thể rút ra công thức diện tích từ bài toán:
\[
S_{ADC} = \frac{S_{AOF}}{\sin^2 B \cdot \sin^2 C}
\]

Hy vọng với quá trình chứng minh qua từng bước sẽ giúp hiểu rõ hơn về các đẳng thức và cách áp dụng định lý Pythagore trong các tam giác vuông.