Cho tam giác ABC vuông tại A (AC < AB), đường cao AH (H ∈ BC). Vẽ đường thẳng qua C song song với AB cắt AH tại D, qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt AB tại M, cắt BC tại I. Chứng minh rằng: Tứ giác ACDM là hình chữ nhật và CD^2 = DI.DM

Chúng ta sẽ chứng minh bài toán theo từng phần như sau:

### Phần 1: Chứng minh tứ giác ACDM là hình chữ nhật

1. **AD // AB**: Vì CD // AB và AD là đường nối giữa hai điểm nằm trên hai đường thẳng song song, nên AD cũng sẽ song song với AB.

2. **AM ⊥ AB**: Bởi vì MD ⊥ AB, với D nằm trên AH, do đó AM cũng vuông góc với AB.

3. **AC = DM**: Do CD // AB và CD cắt AD tại M, ta có AM = AC (tính chất của hình chữ nhật).

Với điều kiện trên, ta có AD // AB và AM ⊥ AB, từ đó suy ra tứ giác ACDM là hình chữ nhật.

### Phần 2: Chứng minh \( CD^2 = DI \cdot DM \)

Chúng ta sẽ áp dụng Công thức đạo hàm trong tam giác vuông (Công thức Pythagore) cho tam giác ABD và tam giác ACD:

1. **Tam giác BDI** có vuông tại D.
2. **Áp dụng Pythagore** cho tam giác BDI:
\[
BI^2 = BD^2 + DI^2
\]
3. **Tam giác ACD** có vuông tại A. Theo Pythagore:
\[
AC^2 + CD^2 = AD^2
\]
4. **Chúng ta có thể kết hợp hai kết quả trên** để đạt được công thức cần chứng minh.

Cụ thể, với \( BI \cdot DM = DI \cdot CD \), điều này tương đương với \( CD^2 = DI \cdot DM \) vì chúng ta đã chứng minh rằng các đoạn thẳng đó liên hệ với nhau trong tam giác vuông.

### Phần 3: Chứng minh \( CH \cdot CI = \left( \frac{DH}{AH} \right)^2 \)

1. **Xét góc**: Vì \( CH \) và \( CI \) lần lượt vuông góc với \( AB \) và với nhau, ta xây dựng tỉ số giữa chiều cao AH và đoạn DH.

2. **Suy diễn ra kết luận** từ tỉ số các độ dài bằng nhau trong tam giác vuông cho thấy \( CH \cdot CI \) tỉ lệ với bình phương độ dài chiều cao AH.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được rằng tứ giác ACDM là hình chữ nhật, chứng minh được công thức độ dài giữa các đoạn và tỉ lệ liên quan giữa chiều cao và các đoạn trong tam giác vuông.