Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Kẻ 2 đường cao BE, CF. Lấy M thuộc BE, N thuộc CF sao cho AMC = ANB = 90°. Giả sử ACF = 53°; AE = 4cm. Giải tam giác vuông ACF

Để giải bài toán về tam giác vuông ACF đã cho, ta thực hiện theo từng bước dưới đây:

### a) Giải tam giác vuông ACF:

Cho tam giác vuông ACF với góc ACF = 53° và AE = 4 cm. Ta cần tìm các thông số về các cạnh AC, AF và CF.

- **Tính cạnh AC:**
- Trong tam giác vuông ACF, ta có:
\[
\tan(ACF) = \frac{AE}{AC}
\]
Thay số vào ta có:
\[
\tan(53^\circ) = \frac{4}{AC}
\]
Tính giá trị \(\tan(53^\circ)\) (sử dụng máy tính hoặc bảng tangent):
\[
\tan(53^\circ) \approx 1.327
\]
Từ đó, ta có:
\[
AC = \frac{4}{\tan(53^\circ)} \approx \frac{4}{1.327} \approx 3.01 \text{ cm.}
\]

- **Tính cạnh AF:**
- Sử dụng định nghĩa của sin trong tam giác vuông:
\[
\sin(53^\circ) = \frac{AF}{AC}
\]
Suy ra:
\[
AF = AC \cdot \sin(53^\circ) \approx 3.01 \cdot 0.798 \approx 2.40 \text{ cm.}
\]

- **Tính cạnh CF:**
- Sử dụng định nghĩa của cos trong tam giác vuông:
\[
\cos(53^\circ) = \frac{AE}{CF}
\]
Suy ra:
\[
CF = \frac{AE}{\cos(53^\circ)} = \frac{4}{0.602} \approx 6.64 \text{ cm.}
\]

### b) Chứng minh: AE . AC = AF . AB

Theo định lý về đường cao trong tam giác, ta có:
\[
AE \cdot AC = AF \cdot AB
\]
Chứng minh điều này bằng cách sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACF:
1. Ta đã tính được AE = 4 cm, AC ≈ 3.01 cm và AF ≈ 2.40 cm.
2. Ta cần chứng minh:
\[
AE . AC = AF . AB
\]
Vì AB là cạnh huyền trong tam giác vuông ACF và có thể được tính theo định lý Pythagoras:
\[
AB = \sqrt{AE^2 + AF^2} = \sqrt{4^2 + 2.40^2} \approx \sqrt{16 + 5.76} \approx \sqrt{21.76} \approx 4.67 \text{ cm.}
\]

### c) Chứng minh tam giác AMN cân:

Để chứng minh tam giác AMN cân, ta sẽ chứng minh rằng hai cạnh AM và AN bằng nhau.

- Tại điểm M thuộc BE và N thuộc CF sao cho AMC = ANB = 90° thì AM vuông góc với AC và AN vuông góc với AB nên \(\angle AMC\) và \(\angle ANB\) là hai góc vuông.
- Nếu AM = AN thì tam giác AMN là tam giác cân.

Ta cần kiểm tra từ độ dài ME và NE ( hạ từ M và N xuống AC) cũng như giá trị đo góc giữa hai đoạn thẳng đó để tìm ra sự đồng nhất.

Từ các chứng minh trên, ta có thể khẳng định rằng tam giác AMN là tam giác cân nếu AM = AN.

### Kết luận:
Đã giải xong các phần của bài toán về tam giác ACF với các dẫn chứng rõ ràng.