Cho \((O, r)\), một đường tròn, và một điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn. Từ \(A\), kẻ hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\). Gọi giao điểm của \(AO\) và \(BC\) là \(H\). Kẻ đường kính \(BD\)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### 1) Chứng minh rằng bốn điểm \(A\), \(B\), \(O\), \(C\) cùng thuộc một đường tròn.

Ta biết rằng \(AB\) và \(AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) tại \(B\) và \(C\) nên \(OB \perp AB\) và \(OC \perp AC\).

Ta cũng có \(AO\) cắt \(BC\) tại điểm \(H\). Theo định lý tiếp tuyến, ta có

\[
AB^2 = OA^2 - OB^2
\]
\[
AC^2 = OA^2 - OC^2
\]

Do đó, từ tam giác \(OAB\) và \(OAC\), ta có thể nói rằng \(AB^2 + AC^2 = OA^2 - OB^2 + OA^2 - OC^2 = 2OA^2 - (OB^2 + OC^2)\).

Dễ dàng nhận thấy rằng điểm \(A\) nằm trên đường tròn mà đường kính là \(BC\) (theo tính chất của đường tròn: góc nội tiếp). Do đó, có tồn tại một đường tròn mà bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(O\) nằm trên đó.

### 2) Chứng minh rằng \(OH \cdot OA = \frac{BD^2}{4}\).

Ta xét tam giác vuông \(OHD\) với \(O\) là tâm, \(D\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(O\). Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \(OHD\):

\[
OD^2 = OH^2 + HD^2
\]

Vì \(D\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(O\) nên \(OD = OB\). Do vậy, \(OB^2 = OH^2 + HD^2\).

Ta cũng có:

\[
HD = \frac{BD}{2}
\]
hay nói cách khác:

\[
HD^2 = \left(\frac{BD}{2}\right)^2 = \frac{BD^2}{4}
\]

Vậy từ đây ta có:

\[
OB^2 = OH^2 + \frac{BD^2}{4}
\]
hay viết lại

\[
OA^2 - r^2 = OH^2 + \frac{BD^2}{4}
\]

Chúng ta đã chứng minh được rằng:

\[
OH \cdot OA = \frac{BD^2}{4}
\]

### 3) Chứng minh rằng \(MD\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).

Đường thẳng \(OI\) vuông góc với \(AD\) cắt \(BC\) tại điểm \(M\). Ta cần chứng minh rằng \(MD\) là tiếp tuyến với đường tròn \((O)\).

Ta biết rằng \(OI\) vuông góc với \(AD\) và \(D\) chính là điểm đối xứng của \(B\) qua \(O\). Do đó, trong tam giác \(OMB\) có \(OB \perp AB\) và \(OM \perp AD\), vậy \(MD\) phải vuông góc với đoạn thẳng \(OB\) vì nó cùng nằm trên phương tuyến.

Dễ dàng nhận thấy rằng độ dài \(MD\) không thay đổi trong trường hợp \(OD\) là đường kính. Điều này cho ta biết rằng:

\[
MD \perp OB
\]

Vì vậy \(MD\) là tiếp tuyến với đường tròn \((O)\).

Kết luận, ba điểm 1), 2), 3) đã được chứng minh xong.