Trong tam giác vuông ABC tại A, đường cao AH được cho tỷ lệ với cạnh AC. Theo đề bài, ta có:

\[
\frac{AH}{AC} = \frac{3}{5}
\]

Vì AC = 15 cm, do đó:

\[
AH = \frac{3}{5} \times AC = \frac{3}{5} \times 15 = 9 \text{ cm}
\]

Để tính HB và HC trong tam giác vuông này, chúng ta sử dụng công thức liên quan đến đường cao trong tam giác vuông. Đối với tam giác ABC vuông tại A, có công thức:

\[
HB = \frac{AH^2}{AC} \quad \text{và} \quad HC = \frac{AH^2}{AB}
\]

Trước tiên, ta cần tính AB và BC. Theo định lý Pythagore, ta có:

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

Do chưa có các giá trị cụ thể cho AB và BC nên ta sẽ tính HB bằng công thức:

\[
HB = \frac{AH^2}{AC}
\]

Với AH = 9 cm và AC = 15 cm:

\[
HB = \frac{9^2}{15} = \frac{81}{15} = 5.4 \text{ cm}
\]

Sau đó, để tính HC, ta cần sử dụng đến AB. Từ tỷ lệ giữa các đoạn:

\[
HB \cdot HC = AH^2
\]

Vì vậy:

\[
HC = \frac{AH^2}{HB}
\]

Thay thế \(AH = 9 \text{ cm}\) vào công thức:

\[
HC = \frac{9^2}{HB} = \frac{81}{5.4} = 15 \text{ cm}
\]

Vậy, từ những tính toán trên, ta có kết quả cuối cùng:

\[
HB = 5.4 \text{ cm}, \quad HC = 15 \text{ cm}
\]